Тақырып. Сызықты емес регрессия және корреляция.

 

Мысал. Әр түрлі шаруашылықтармен берілген тыңайтқыштар мен осы жағдайда алынған өнім көлемі белгілі болсын. Кестеде Х – тыңайтқыш (удобрение) мөлшері (кг/га) және У - өнімділік (урожайность) (ц/га) берілген.

 

Х
У

 

Регрессия сызықтарының теңдеулерін құрыңыз:

а) Екі дәрежелі параболаны;

б) Тең бүйірлі гиперболаны.

Корреляция индексі бойынша Х және У факторлары арасындағы тығыздықты бағалаңыз.

Шешуі.

а) Екінші ретті параболаның регрессия теңдеуін келесі түрде іздейміз: .

Параболаның регрессия теңдеуінің коэффициенттерін табу үшін нормалдық (қалыпты)теңдеулер жүйесі мынадай болады:

 

Есептеуші кесте құрамыз:

 

№
Σ

 

Нәтижесінде нормалдық теңдеулер жүйесі мына түрде болады:

 

Крамер әдісін қолданып, теңдеулер жүйесін шешеміз:

,

,

 

Онда , ,

 

Регрессия теңдеуінін келесі түрін аламыз:

Х және У факторлар арасындағы тығыздық қатынасын табу үшінкорреляция индексі R – ді табамыз.

 

Корреляция индексін анықтау үшін, есептеуші кестені құрамыз:

 

№
			2,9285	0,0715	0,0051	-1
			4,7141	-0,7141	0,5099
			5,6425	0,3575	0,1278
			5,7137	1,2863	1,6546
			4,9277	0,0723	0,0052
			3,2845	-2,2845	5,2189	-3
			0,7841	1,2159	1,4784	-2
Σ					8,9999

 

Мұндағы - айнымалы х-тін барлық мәндерін алып теңдеуге қойғанда, шыққан мәндері. Ал у-тін орта мәнін мына формуладан анықтаймыз:

 

Корреляция индексін келесі формула бойынша анықтаймыз:

 

Корреляция индексі R=0,8238 тең болды, бұдан мына қорытындыны шығаруға болады:

х және у арасындағы байланыс тығыз.

 

б) Тең бүйірлі гиперболаның регрессия теңдеуін келесі түрде іздейміз:

Тең бүйірлі гиперболаның регрессия теңдеуінің коэффициенттерін табу үшін, келесі нормалдық теңдеулер жүйесін аламыз:

 

 

 

Есептеуші кестені құрамыз:

 

№
			0,5		0,25
			0,3333		0,1111
			0,25		0,0625	1,75
			0,2		0,04
			0,1667		0,0278	0,1667
			0,1429		0,0204	0,2857
Σ			2,5929		1,5118	10,2024

 

Біздің жағдайда келесі жұйені аламыз:

 

 

Крамер әдісін пайдаланып, теңдеулер жүйесін шешеміз:

,

 

 

Онда , .

Келесі регрессия теңдеуі шығады: .

Корреляция индексі жоғарыдағы (а-пунктіндегі)- дей анықталады. Есептеуші кестені құрамыз:

 

№
			3,8066	-0,8066	0,6506	-1
			3,9602	0,0398	0,0016
			4,0114	1,9886	3,9545
			4,037	2,963	8,7794
			4,0524	0,9476	0,898
			4,0626	-3,0626	9,3795	-3
			4,0699	-2,0699	4,2845	-2
Σ					27,9481

 

Енді корреляция индексін табамыз: , бұдан мына қорытынды шығарамыз: х және у арасындағы байланыс әлсіз немесе байланыс жоқ; деп те айтуға болады.

Сонымен, негізгі мәліметтер параболалық функциямен жеткілікті жақсы жуықталады, ал гиперболамен өте жаман сипатталады.