Условия интегрируемости (по Риману) функции двух переменных

 

Теорема 1 (необходимое условие интегрируемости). Если функция f(x; y) интегрируема на простом компакте D, то она ограничена на этом компакте.

à Проведем доказательство методом от противного. Пусть существует функция f(x; y) интегрируемая на простом компакте D, но неограниченная на этом компакте. Тогда при любом разбиении Т на любое конечное число n ячеек (D S_k) с площадями D S_k () функция

f(x; y) не ограничена хотя бы в одной из этих ячеек. Пусть, например, f(x; y) не ограничена в

(D S₁). В остальных ячейках (D S_k) возьмем произвольные точки ().

Пусть

.

В силу неограниченности функции f(x; y) в ячейке (D S₁) найдется точка такая, что .

Тогда для соответствующей интегральной суммы будем иметь

.

Отсюда следует, что при не существует конечного предела интегральной суммы s, что противоречит интегрируемости функции f(x; y) в D. ¨

При доказательстве следующей теоремы нам понадобится понятие сумм Дарбу.

Пусть f(x; y) – ограниченная на простом компакте D функция и T – произвольное разбиение этого компакта на частичные ячейки (D S_k) (). В каждой ячейке (D S_k) функция f(x; y) ограничена, поэтому множество значений этой функции в (D S_k) имеет конечные ТНГ и ТВГ:

Составим суммы

. (1)

Эти суммы будем называть соответственно нижней и верхней суммами Дарбу функции

f(x; y) для данного разбиения T компакта D.

Очевидно, что .

Легко видеть, что:

1) Для одного и того же разбиения T любая интегральная сумма s(T) заключена между нижней и верхней суммами Дарбу: (2)

2) Если функция f(x; y) непрерывна на компакте D, то суммы Дарбу (1) являются интегральными суммами этой функции при любом разбиении T компакта D.

Отметим следующие свойства сумм Дарбу(доказательство этих свойств аналогично доказательству их свойств для функции одной переменной):

Свойство 1. При данном (фиксированном) разбиении T компакта D суммы Дарбу функции f(x; y) являются соответственно ТН и ТВ гранями множества всех интегральных сумм (для функции f(x; y)) на компакте D, соответствующих этому же разбиению T компакта D:

. (3)

Свойство 2. Если разбиение T₁ компакта D получено из разбиения T добавлением конечного числа новых ячеек, то

, т.е.

при добавлении новых ячеек нижняя сумма Дарбу может лишь увеличиться, а верхняя сумма Дарбу – лишь уменьшиться.

Свойство 3. Любая нижняя сумма Дарбу для функции на компакте не превосходит любой верхней суммы Дарбу (независимо от того, соответствуют ли эти суммы одному разбиению или различным разбиениям компакта D.)

Следствие. Множество всех нижних сумм Дарбу функции f(x; y) на компакте D (соответствующих всевозможным разбиениям компакта) имеет конечную точную верхнюю грань , а множество всех верхних сумм Дарбу имеет конечную точную нижнюю грань , причем . (4)

Числа I₁ и I₂ называются соответственно нижним и верхним интегралами функции f(x; y) на компакте D.

Теорема 2 (необходимое и достаточное условие интегрируемости). Для того, чтобы ограниченная на простом компакте D функция f(x; y) была интегрируема на этом компакте, необходимо и достаточно, чтобы , где и - соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу функции f (x; y), соответствующие разбиению T компакта D.

à Необходимость. Пусть f (x; y) интегрируема на D, т.е. существует двойной интеграл

или короче

. (5)

Требуется показать, что , т.е., что

. (6)

Действительно, в силу (1) имеем

. (7)

При любом фиксированном разбиении T согласно первому свойству сумм Дарбу имеем:

.

Поэтому существуют интегральные суммы s₁ и s₂, принадлежащие множеству ,такие, что . (8)

С другой стороны, на основании последнего неравенства цепочки (7) имеем:

. (9)

Из (8) и (9) следует, что

т.е.

.

Из двух последних неравенств получаем:

, или .

Таким образом, цепочка (6) выполняется при d, указанном в цепочке (7).

Достаточность. Пусть

. (10)

Покажем, что функция f (x; y) интегрируема на компакте D.

Воспользуемся неравенствами (4): ,

Откуда и, следовательно, с учетом (10) на основании «принципа двух милиционеров» получаем:

,

а так как , то 0 или

Положим .Тогда неравенство (4) примет вид:

. (11)

С другой стороны, для любой интегральной суммы имеем:

. (12)

Из (11) и (12) получаем:

 

.

Отсюда, с учетом (10), следует, что существует конечный предел . Это и означает, что функция f (x; y) интегрируема в D. ¨

Теорема 3 (достаточное условие интегрируемости). Если функция f (x; y) непрерывна на компакте D, то она интегрируема на этом компакте.

àПусть f (x; y) непрерывна на простом компакте D, а m и M – ее наибольшее и наименьшее значения в D. Разобьем компакт D произвольным образом на любое конечное число n квадрируемых ячеек (D S_k) (), функция f (x; y) будет непрерывной в каждой из ячеек

(D S_k) и принимает (D S_k) в наименьшее и наибольшее значения m_k и M_k соответственно ().

Тогда

.

Пусть S – площадь компакта D. Так как f (x; y) непрерывна на компакте D, то она равномерно-непрерывна на этом компакте. Поэтому, для любого , а значит, и для найдется , такое, что . (13)

Пусть . Тогда в каждой ячейке (D S_k) найдутся две точки такие, что

. Следовательно, в силу (13) будем иметь

.

Поэтому

Таким образом, для любого мы нашли (см. цепочку (10¢) такое, что

.

Это и значит, что .

Следовательно, на основании теоремы 2 заключаем, что функция f (x; y) интегрируема в D. ¨

Замечание 1. Можно показать, что ограниченная на простом компакте D функция f (x; y) интегрируема на этом компакте, если она имеет разрыв в конечном числе точек из D, и (или) на конечном числе линий, имеющих нулевую площадь, двойной интеграл не изменится, если подинтегральную функцию произвольным образом переопределить на указанных выше линиях или в этих точках.

Замечание 2. Из задачи §1 с учетом теоремы 3 вытекает следующее утверждение, выражающее физический смысл двойного интеграла:

Двойной интеграл по простому компакту D от непрерывной и неотрицательной на D функции f (x; y) равен массе материальной пластины D с поверхностной плотностью f (x; y):

.