B Аналогично вводится понятие компакта, правильного в напра

D D влении оси OX.

A₂ P₁

 

0 Рис.1 x

Примерами правильных компактов в направлении обеих осей являются, например, эллипс, круг, треугольник.

Теорема 1. Пусть функция f(x; y) интегрируема в прямоугольнике

и при любом фиксированном x существует интеграл

. (1)

Тогда

,

т.е.

. . (2)

Заметим, что правую часть равенства (2) обычно записывают в виде

, так,

что

. (3)

Правую часть последнего равенства называют повторным интегралом.

à Пусть выполнены условия теоремы. Согласно определению двойного интеграла имеем

,

где s - интегральная сумма для функции f(x; y), соответствующая произвольному разбиению прямоугольника П на любое конечное число квадрируемых ячеек при любом выборе точек этих ячеек, а - диаметр разбиения Т.

Учитывая это, возьмем в качестве Т разбиение прямоугольника П на прямоугольные ячейки с помощью прямых, параллельных осям координат (см.Рис. 2), а в

качестве точек в этих ячейках возьмем

Y

y_m=d

y_m-1

 

y_i

y_i-1

 

y₂

y₁

c

0 a x₁ x_k-1 x_k x_n-1 b=x_n x

Рис. 2

Площадь ячейки равна .

Это разбиение T порождает соответственно разбиения T₁ и T₂ соответственно отрезков и :

,

.

Пусть – наибольшая из длин частичных отрезков разбиения Т₁ отрезка , - наибольшая из длин частичных отрезков разбиения Т₂ отрезка и - диаметр ячейки .

Очевидно,

.

Так как

,

то

. (4)

Поскольку, далее

,

то из соотношения ,с учетом (4), следует, что

.

Последнее неравенство этой цепочки запишем подробнее в виде:

. (5)

Зафиксируем теперь разбиение Т₁ отрезка так, чтобы было , а разбиение T₂ отрезка будем неограниченно измельчать так, что при этом .

Так как при (в силу (1)), то, переходя в (5) к пределу при , будем иметь

.

Последнее неравенство справедливо для любого фиксированного разбиения Т₁ отрезка такого, что .

Таким образом,

,

а это и значит, что

, т.е.

или

. ¨

Замечание 1. Аналогично можно показать, что

(6)

при условии, что существуют двойной интеграл и при любом фиксированном определенный интеграл .

Из формул (3) и (6) при выполнение соответствующих условий получаем формулу изменения порядка интегрирования в повторном интеграле (в случае прямоугольной области):

. (7)

Последнее соотношение заведомо имеет место, если функция f(x; y) непрерывна в прямоугольнике П.

Теорема 2 (общий случай). Пусть D – правильный в направлении оси Oy простой компакт, ограниченный линиями x=a, x=b, y=j₁(x), y=j₂(x), где j₁(x) и j₂(x) – непрерывные на отрезке [a;b] функции, причем j₁(x) £ j₂(x) на [a;b]. Пусть, далее, функция fx;y) интегрируема в D и при любом фиксированном существует определенный интеграл

. (8)

 

Тогда

. (9)

y=j₂(x)

y

d

D

 

с

0 a b x

y=j₁(x) Рис.3

à Пусть выполнены условия теоремы. Возьмем любой прямоугольник П, содержащий компакт D и имеющий ту же проекцию на ось Ox, что и компакт D, т.е. отрезок [a;b]. Пусть отрезок - проекция прямоугольника П на ось Oy. (см. Рис.3)

Введем в рассмотрение функцию

Проверим, что функция F(x;y) в прямоугольнике П удовлетворяет всем условиям теоремы1.

Функция F(x;y) интегрируема на каждом из компактов D и [П \D ], так как на компакте D - интегрируемая функция по условию, а на компакте [П \D ] - функция F(x;y) непрерывна, исключая быть может, точки линий y=j₁(x) и y=j₂(x), имеющих нулевую площадь. Поэтому

.

Следовательно, по свойству аддитивности, функция F(x;y) интегрируема в П, причем ,

т.е.

. (10)

Кроме того, при любом фиксированном функция F(x,y) интегрируема на , причем

=

,

т.е.

. (11)

Применяя к функции F(x;y) на П теорему 1 и учитывая (11), получим:

. (12)

Из (10) и (12) следует (9).¨

Пример. Вычислим интеграл , где область интегрирования D ограничена линиями

y àОбласть интегрирования D, правильная в направлении обеих

осей, изображена на Рис.4.

Воспользуемся для вычисления формулой (9), где

.

 

0 1 x

Рис.4

Имеем

Замечание 2. Пусть D – правильный в направлении оси OX простой компакт (см.Рис.5), ограниченный линиями , где y₁ (y) и y₂(y) непрерывные на отрезке функции, y₁ (y) £ y₂(y) .

y

d

D

c

0 x

Рис.5

Пусть, далее, функция f(x;y) интегрируема в D и при любом фиксированном существует определенный интеграл . Тогда

 

. (13)

Если компакт правильный в направлении обеих осей, то (при выполнении соответствующих условий) имеют место обе формулы (9) и (13) и, следовательно,

. (14)

Формула (14) называется формулой изменения порядка интегрирования в повторном интеграле.

Замечание 3. Если компакт D неправильный, то его стараются разбить (если это возможно) на конечное число компактов D₁,D₂,…,D_n, правильных в направлении той или иной оси, затем записывают равенство

, (15)

после чего каждый из интегралов в правой части (15) вычисляют по одной из формул (9) или (13).

Замечание 4. Для упрощения вычислений бывает удобнее иногда и правильный компакт D разбить на боле мелкие компакты. Так поступают, например, когда требуется изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, когда участок границы компакта D, состоящий из точек входа (выхода) задается различными уравнениями на различных его частях.

Например, пусть компакт D ограничен линиями (см.Рис.6) и функция f(x;y) интегрируема в D.

y

y =-x y=x

1

D₁ D₂

 

-1 0 1 x

Рис.6

 

Тогда .

С другой стороны,

,

Таким образом,

= .