Замена переменных в двойном интегралеЗамена переменных в двойном интеграле часто существенно упрощает его вычисление. I. Пусть D – связный простой компакт, расположенный в плоскости OXY, а функция f(x;y) непрерывна на этом компакте. Пусть, далее, компакт D*, расположенный в плоскости O'UV и отображение F, определяемое парой функций (1) y v P v y DD D D* C C* 0 x x 0' u u Рис.1 таковы, что 1) Отображение F компакта D* на D взаимно однозначно; 2) Функции (1) непрерывно – дифференцируемы в D* 3) Якобиан отображение (2) отличен от нуля в D*:
. (2) Последнее равенство запишем короче в виде . Такое отображение будем называть регулярным. При регулярном отображении (1) внутренние точки P*(u;v) компакта D * переходят во внутренние точки P (u;v) компакта D, а при обратном отображении F-1 (3) внутренние точки P (x;y) компакта переходят D во внутренние точки P*(u;v) компакта D*. Кроме того . Возьмем в D * прямую . При отображении (1) ей в D отвечает линия, определяемая параметрическими уравнениями (4) (параметром здесь является v). Аналогично, каждая прямая компакта D * отображается на линию (5) компакта D. Линии (4) и(5) называются координатными линиями (на компакте плоскости OXY). Эти линии, вообще говоря, кривые (см.Рис.2). v y
v0 u0 v0 0’ u0 u 0 x Рис.2 Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения (1) через каждую точку (x;y) компакта D проходит единственная линия вида (4) при постоянном значении u и единственная линия вида (5) при постоянном значении v. Эти величины u и v называют криволинейными координатами точки (x;y). Перейдем теперь к преобразованию двойного интеграла от непрерывной на связном простом компакте D функции f(x;y) с помощью рассмотренного выше регулярного отображения F. Имеем , (6) где s – интегральная сумма для функции f(x;y), соответствующая произвольному разбиению T компакта D на любое конечное число квадрируемых ячеек, при произвольном выборе точек (x;h) в этих ячейках, l(T) - наибольший из диаметров этих ячеек. Возьмем в качестве T разбиения компакта D на криволинейные ячейки, соответствующие разбиениюкомпакта D * на ячейки с помощью прямых, параллельных осям O’U, O’V.
v y
vi+1 vi 0’ uk u k+1 u 0 x
Рис.3 Поскольку площадь границы компакта D равна нулю, то двойной интеграл можно рассматривать как предел суммы только тех слагаемых интегральной суммы s, которые соответствуют внутренним ячейкам разбиения T компакта D. Поэтому , (7) где – площадь криволинейного четырехугольника , ограниченного линиями . Переходя к декартовым координатам вершин этого четырехугольника будем иметь: , где Введем обозначения . Считая, в целях сокращения выкладок, что функции и имеют в D * непрерывные частные производные второго порядка *) и пользуясь формулой Тейлора для функции 2-х переменных, получим:
Так как остаточные члены являются бесконечно малыми величинами высшего порядка малости по сравнению с и при , то они не влияют на величину предела интегральной суммы, поэтому при нахождении этого предела их можно отбросить.
Таким образом, можно считать:
Легко проверить, что так, что прямолинейная фигура является параллелограммом, площадь которого
*) При вычислении предела (7), как показано в [4], можно обойтись и без этого предположения.
равна удвоенной площади треугольника , т.е. модулю определителя (см., например, [6], стр.72) . Имеем
т.е. . Следовательно, - - интегральная сумма для непрерывной в D * функции . Предел этой суммы при существует и равен двойному интегралу .
Теперь (7) можно переписать в виде . (8) Таким образом, имеет место следующая теорема. Теорема (о замене переменных в двойном интеграла). Если отображение (1) компакта D* на D регулярно, то справедлива формула (8). Пример. Вычислим , если область D - квадрат, ограниченный прямыми . à Введем новые переменные . (9) Тогда . По формулам (9) квадрат преобразуется в квадрат (см.Рис. 4). y v 1 3 1 3 -1 u
0 1 3 x Рис.4
Так как , то согласно (8) имеем . Поскольку , то . ¨
|