Замена переменных в двойном интеграле
Замена переменных в двойном интеграле часто существенно упрощает его вычисление. I. Пусть D – связный простой компакт, расположенный в плоскости OXY, а функция f(x;y) непрерывна на этом компакте. Пусть, далее, компакт D*, расположенный в плоскости O'UV и отображение F, определяемое парой функций
0 x x 0' u u Рис.1 таковы, что 1) Отображение F компакта D* на D взаимно однозначно; 2) Функции (1) непрерывно – дифференцируемы в D* 3) Якобиан отображение (2) отличен от нуля в D*:
Последнее равенство запишем короче в виде
Такое отображение будем называть регулярным. При регулярном отображении (1) внутренние точки P*(u;v) компакта D * переходят во внутренние точки P (u;v) компакта D, а при обратном отображении F-1
внутренние точки P (x;y) компакта переходят D во внутренние точки P*(u;v) компакта D*. Кроме того
Возьмем в D * прямую
(параметром здесь является v). Аналогично, каждая прямая
компакта D. Линии (4) и(5) называются координатными линиями (на компакте плоскости OXY). Эти линии, вообще говоря, кривые (см.Рис.2).
0’ u0 u 0 x Рис.2 Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения (1) через каждую точку (x;y) компакта D проходит единственная линия вида (4) при постоянном значении u и единственная линия вида (5) при постоянном значении v. Эти величины u и v называют криволинейными координатами точки (x;y). Перейдем теперь к преобразованию двойного интеграла от непрерывной на связном простом компакте D функции f(x;y) с помощью рассмотренного выше регулярного отображения F. Имеем
где s – интегральная сумма для функции f(x;y), соответствующая произвольному разбиению T компакта D на любое конечное число квадрируемых ячеек, при произвольном выборе точек (x;h) в этих ячейках, l(T) - наибольший из диаметров этих ячеек. Возьмем в качестве T разбиения компакта D на криволинейные ячейки, соответствующие разбиениюкомпакта D * на ячейки с помощью прямых, параллельных осям O’U, O’V.
Рис.3 Поскольку площадь границы компакта D равна нулю, то двойной интеграл можно рассматривать как предел суммы только тех слагаемых интегральной суммы s, которые соответствуют внутренним ячейкам разбиения T компакта D. Поэтому
где
Переходя к декартовым координатам вершин этого четырехугольника будем иметь:
где Введем обозначения
Считая, в целях сокращения выкладок, что функции
Так как остаточные члены
Таким образом, можно считать:
Легко проверить, что так, что прямолинейная фигура
*) При вычислении предела (7), как показано в [4], можно обойтись и без этого предположения.
равна удвоенной площади треугольника
Имеем
т.е.
Следовательно,
- интегральная сумма для непрерывной в D * функции Предел этой суммы при
Теперь (7) можно переписать в виде
Таким образом, имеет место следующая теорема. Теорема (о замене переменных в двойном интеграла). Если отображение (1) компакта D* на D регулярно, то справедлива формула (8). Пример. Вычислим à Введем новые переменные
Тогда По формулам (9) квадрат преобразуется в квадрат
0 1 3 x Рис.4
Так как
то согласно (8) имеем
Поскольку
¨
|