Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Замена переменных в двойном интеграле





Замена переменных в двойном интеграле часто существенно упрощает его вычисление.

I. Пусть D – связный простой компакт, расположенный в плоскости OXY, а функция f(x;y) непрерывна на этом компакте. Пусть, далее, компакт D*, расположенный в плоскости O'UV и отображение F, определяемое парой функций

(1)

y v

P v

y DD D D*

C C*

       
   


0 x x 0' u u

Рис.1

таковы, что

1) Отображение F компакта D* на D взаимно однозначно;

2) Функции (1) непрерывнодифференцируемы в D*

3) Якобиан отображение (2) отличен от нуля в D*:

 

. (2)

Последнее равенство запишем короче в виде

.

Такое отображение будем называть регулярным.

При регулярном отображении (1) внутренние точки P*(u;v) компакта D * переходят во внутренние точки P (u;v) компакта D, а при обратном отображении F-1

(3)

внутренние точки P (x;y) компакта переходят D во внутренние точки P*(u;v) компакта D*.

Кроме того

.

Возьмем в D * прямую . При отображении (1) ей в D отвечает линия, определяемая параметрическими уравнениями

(4)

(параметром здесь является v).

Аналогично, каждая прямая компакта D * отображается на линию

(5)

компакта D.

Линии (4) и(5) называются координатными линиями (на компакте плоскости OXY).

Эти линии, вообще говоря, кривые (см.Рис.2).

v y

 
 

 


v0 u0

v0

 
 


0’ u0 u 0 x

Рис.2

Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения (1) через каждую точку (x;y) компакта D проходит единственная линия вида (4) при постоянном значении u и единственная линия вида (5) при постоянном значении v. Эти величины u и v называют криволинейными координатами точки (x;y).

Перейдем теперь к преобразованию двойного интеграла

от непрерывной на связном простом компакте D функции f(x;y) с помощью рассмотренного выше регулярного отображения F.

Имеем

, (6)

где s – интегральная сумма для функции f(x;y), соответствующая произвольному разбиению T компакта D на любое конечное число квадрируемых ячеек, при произвольном выборе точек (x;h) в этих ячейках, l(T) - наибольший из диаметров этих ячеек.

Возьмем в качестве T разбиения компакта D на криволинейные ячейки, соответствующие разбиениюкомпакта D * на ячейки с помощью прямых, параллельных осям O’U, O’V.

 

       
   
 


v y

 

vi+1

vi

 
 


0’ uk u k+1 u 0 x

 

 

Рис.3

Поскольку площадь границы компакта D равна нулю, то двойной интеграл можно рассматривать как предел суммы только тех слагаемых интегральной суммы s, которые соответствуют внутренним ячейкам разбиения T компакта D.

Поэтому

, (7)

где – площадь криволинейного четырехугольника , ограниченного линиями

.

Переходя к декартовым координатам вершин этого четырехугольника будем иметь:

,

где

Введем обозначения

.

Считая, в целях сокращения выкладок, что функции и имеют в D * непрерывные частные производные второго порядка *) и пользуясь формулой Тейлора для функции 2-х переменных, получим:

 

 

 

Так как остаточные члены являются бесконечно малыми величинами высшего порядка малости по сравнению с и при , то они не влияют на величину предела интегральной суммы, поэтому при нахождении этого предела их можно отбросить.

 

Таким образом, можно считать:

 

 

Легко проверить, что

так, что прямолинейная фигура является параллелограммом, площадь которого

 

 
 


*) При вычислении предела (7), как показано в [4], можно обойтись и без этого предположения.

 

равна удвоенной площади треугольника , т.е. модулю определителя (см., например, [6], стр.72)

.

Имеем

 

 

 

т.е.

.

Следовательно,

-

- интегральная сумма для непрерывной в D * функции .

Предел этой суммы при существует и равен двойному интегралу

.

 

Теперь (7) можно переписать в виде

. (8)

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема (о замене переменных в двойном интеграла). Если отображение (1) компакта D* на D регулярно, то справедлива формула (8).

Пример. Вычислим , если область D - квадрат, ограниченный прямыми .

à Введем новые переменные

. (9)

Тогда .

По формулам (9) квадрат преобразуется в квадрат

(см.Рис. 4).

y v

 
 


1

3 1 3

-1 u

 

 

0 1 3 x Рис.4

 

Так как

,

то согласно (8) имеем

.

Поскольку , то

.

¨







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 795. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...


Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Подкожное введение сывороток по методу Безредки. С целью предупреждения развития анафилактического шока и других аллергических реак­ций при введении иммунных сывороток используют метод Безредки для определения реакции больного на введение сыворотки...

Принципы и методы управления в таможенных органах Под принципами управления понимаются идеи, правила, основные положения и нормы поведения, которыми руководствуются общие, частные и организационно-технологические принципы...

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ САМОВОСПИТАНИЕ И САМООБРАЗОВАНИЕ ПЕДАГОГА Воспитывать сегодня подрастающее поколение на со­временном уровне требований общества нельзя без по­стоянного обновления и обогащения своего профессио­нального педагогического потенциала...

Медицинская документация родильного дома Учетные формы родильного дома № 111/у Индивидуальная карта беременной и родильницы № 113/у Обменная карта родильного дома...

Основные разделы работы участкового врача-педиатра Ведущей фигурой в организации внебольничной помощи детям является участковый врач-педиатр детской городской поликлиники...

Ученые, внесшие большой вклад в развитие науки биологии Краткая история развития биологии. Чарльз Дарвин (1809 -1882)- основной труд « О происхождении видов путем естественного отбора или Сохранение благоприятствующих пород в борьбе за жизнь»...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия