Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Замена переменных в двойном интеграле





Замена переменных в двойном интеграле часто существенно упрощает его вычисление.

I. Пусть D – связный простой компакт, расположенный в плоскости OXY, а функция f(x;y) непрерывна на этом компакте. Пусть, далее, компакт D*, расположенный в плоскости O'UV и отображение F, определяемое парой функций

(1)

y v

P v

y DD D D*

C C*

       
   


0 x x 0' u u

Рис.1

таковы, что

1) Отображение F компакта D* на D взаимно однозначно;

2) Функции (1) непрерывнодифференцируемы в D*

3) Якобиан отображение (2) отличен от нуля в D*:

 

. (2)

Последнее равенство запишем короче в виде

.

Такое отображение будем называть регулярным.

При регулярном отображении (1) внутренние точки P*(u;v) компакта D * переходят во внутренние точки P (u;v) компакта D, а при обратном отображении F-1

(3)

внутренние точки P (x;y) компакта переходят D во внутренние точки P*(u;v) компакта D*.

Кроме того

.

Возьмем в D * прямую . При отображении (1) ей в D отвечает линия, определяемая параметрическими уравнениями

(4)

(параметром здесь является v).

Аналогично, каждая прямая компакта D * отображается на линию

(5)

компакта D.

Линии (4) и(5) называются координатными линиями (на компакте плоскости OXY).

Эти линии, вообще говоря, кривые (см.Рис.2).

v y

 
 

 


v0 u0

v0

 
 


0’ u0 u 0 x

Рис.2

Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения (1) через каждую точку (x;y) компакта D проходит единственная линия вида (4) при постоянном значении u и единственная линия вида (5) при постоянном значении v. Эти величины u и v называют криволинейными координатами точки (x;y).

Перейдем теперь к преобразованию двойного интеграла

от непрерывной на связном простом компакте D функции f(x;y) с помощью рассмотренного выше регулярного отображения F.

Имеем

, (6)

где s – интегральная сумма для функции f(x;y), соответствующая произвольному разбиению T компакта D на любое конечное число квадрируемых ячеек, при произвольном выборе точек (x;h) в этих ячейках, l(T) - наибольший из диаметров этих ячеек.

Возьмем в качестве T разбиения компакта D на криволинейные ячейки, соответствующие разбиениюкомпакта D * на ячейки с помощью прямых, параллельных осям O’U, O’V.

 

       
   
 


v y

 

vi+1

vi

 
 


0’ uk u k+1 u 0 x

 

 

Рис.3

Поскольку площадь границы компакта D равна нулю, то двойной интеграл можно рассматривать как предел суммы только тех слагаемых интегральной суммы s, которые соответствуют внутренним ячейкам разбиения T компакта D.

Поэтому

, (7)

где – площадь криволинейного четырехугольника , ограниченного линиями

.

Переходя к декартовым координатам вершин этого четырехугольника будем иметь:

,

где

Введем обозначения

.

Считая, в целях сокращения выкладок, что функции и имеют в D * непрерывные частные производные второго порядка *) и пользуясь формулой Тейлора для функции 2-х переменных, получим:

 

 

 

Так как остаточные члены являются бесконечно малыми величинами высшего порядка малости по сравнению с и при , то они не влияют на величину предела интегральной суммы, поэтому при нахождении этого предела их можно отбросить.

 

Таким образом, можно считать:

 

 

Легко проверить, что

так, что прямолинейная фигура является параллелограммом, площадь которого

 

 
 


*) При вычислении предела (7), как показано в [4], можно обойтись и без этого предположения.

 

равна удвоенной площади треугольника , т.е. модулю определителя (см., например, [6], стр.72)

.

Имеем

 

 

 

т.е.

.

Следовательно,

-

- интегральная сумма для непрерывной в D * функции .

Предел этой суммы при существует и равен двойному интегралу

.

 

Теперь (7) можно переписать в виде

. (8)

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема (о замене переменных в двойном интеграла). Если отображение (1) компакта D* на D регулярно, то справедлива формула (8).

Пример. Вычислим , если область D - квадрат, ограниченный прямыми .

à Введем новые переменные

. (9)

Тогда .

По формулам (9) квадрат преобразуется в квадрат

(см.Рис. 4).

y v

 
 


1

3 1 3

-1 u

 

 

0 1 3 x Рис.4

 

Так как

,

то согласно (8) имеем

.

Поскольку , то

.

¨







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 795. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Тема: Изучение приспособленности организмов к среде обитания Цель:выяснить механизм образования приспособлений к среде обитания и их относительный характер, сделать вывод о том, что приспособленность – результат действия естественного отбора...

Тема: Изучение фенотипов местных сортов растений Цель: расширить знания о задачах современной селекции. Оборудование:пакетики семян различных сортов томатов...

Тема: Составление цепи питания Цель: расширить знания о биотических факторах среды. Оборудование:гербарные растения...

Образование соседних чисел Фрагмент: Программная задача: показать образование числа 4 и числа 3 друг из друга...

Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Краткая психологическая характеристика возрастных периодов.Первый критический период развития ребенка — период новорожденности Психоаналитики говорят, что это первая травма, которую переживает ребенок, и она настолько сильна, что вся последую­щая жизнь проходит под знаком этой травмы...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия