Понятие тройного интеграла

Пусть даны кубируемое тело Q и функция f (x;y;z), определенная в Q. Будем предполагать, что Q – связный простой компакт. Разобьем тело Q на любое конечное число n кубируемых частей (ячеек) (DV_k) попарно без общих внутренних точек:

Ø .

Это разбиение будем обозначать через T. Введем следующие обозначения:

DV_k – объем ячейки (DV_k) (), l(T) – наибольший из диаметров ячеек разбиения T.

В каждой ячейке (DV_k) возьмем произвольно точку P_k(x_k; h_k: g_k). Вычислим значение функции f в точках P_k и составим интегральную сумму:

. (1)

Определение. Если при существует конечный предел интегральной суммы (1) (не зависящий ни от способа разбиения тела Q на ячейки, ни от выбора точек P_k в этих ячейках), то функция f (x,y,z), называется интегрируемой в Q, а сам этот предел называется тройным интегралом от функции f по компакту Q:

, (2)

Справедливы следующие условия интегрируемости функций трех переменных:

Теорема 1(необходимое условие интегрируемости). Если функция f(x; y;z) интегрируема на простом компакте D, то она ограничена на этом компакте.

Теорема 2(необходимое и достаточное условие интегрируемости). Для того, чтобы ограниченная на простом компакте D функция f(x; y;z) была интегрируема на этом компакте, необходимо и достаточно, чтобы , где и соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу функции f (x; y;z), соответствующие разбиению T компакта D.

Теорема 3 (достаточное условие интегрируемости). Если функция f (x; y;z) непрерывна на компакте D, то она интегрируема на этом компакте.

Доказательство этих утверждений аналогично доказательству соответствующих теорем для функций двух переменных.

Тройные интегралы обладают следующими свойствами:

Пусть Q – простой компакт в R³. Имеют место следующие утверждения:

1. Если функция f (x; y; z) интегрируема в Q и c = const ÎR, то функция c×f (x; y;z) также интегрируема в Q и

.

2. Если функции f (x; y;z) и j(x; y;z) интегрируемы в Q, то их сумма также интегрируема в Q и .

Замечание. Это свойство методом математической индукции обобщается на случай любого конечного числа интегрируемых функций.

3. Свойство аддитивности:

Если компакт Q есть объединение простых компактов Q₁ и Q_2. () без общих внутренних точек и функция f (x; y;z) интегрируема на Q, то она интегрируема на каждом из компактов Q₁ и Q ₂, причем

.

4. Если функция f (x;y;z) интегрируема в Q и f (x; y;z) ³0 в Q (f (x; y;z)£0 в Q ), то

.

5. Если функции f (x; y;z) и j(x; y;z) интегрируемы вQи f (x; y;z)£ j(x; y;z) в D, то

.

6. Если функция f (x; y;z) интегрируема в Q и m £ f (x; y;z) £ M в D, то

.

Доказательство утверждений 1-6 аналогично доказательству соответствующих утверждений для функций одной переменной.

7. Теорема о среднем значении для непрерывной функции:

Если функция f (x; y;z) непрерывна на связном простом компакте Q, то существует по крайней мере одна точка (x₀;y₀;z₀)ÎQ, такая, что

.

При этом число называется средним значением функции f на компакте Q.

8. Теорема об оценке тройного интеграла:

Если функция f (x; y;z) интегрируема в Q, то функция также интегрируема в Q, причем

.

 

 

[n1] §2. Вычисление тройных интегралов

 

I. В простейших случаях (при удачном разбиении тела Q на ячейки и выборе точек P_k в этих ячейках) тройной интеграл

можно вычислить, используя определение тройного интеграла.

На практике, как правило, вычисление тройного интеграла (1) сводится к вычислению одного определенного интеграла и одного двойного интеграла. В итоге тройной интеграл вычисляется с помощью 3-х последовательных однократных (определенных) интегралов.

Справедлива следующая

Теорема. Пусть тело Q - правильный в направлении оси Oz простой компакт и D – его проекция на плоскость OXY. Пусть это тело ограничено поверхностями ()и цилиндрической поверхностью с направляющей ¶D и образующей, параллельной оси Oz. Пусть, далее, функции y₁(x, y) и y₂(x, y) непрерывны в D и функция непрерывна в Q. Тогда

. (2)

Замечание. Иногда внутреннее интегрирование удобнее вести по x или по y (в зависимости от строения тела Q).

Пример. Вычислим тройной интеграл

,

где тело Q ограничено поверхностями .

 

z à Воспользуемся формулой (2), учитывая, что Q -

z=2 правильный в направлении оси Оz простой компакт

y=x² y=1 (см.Рис.1).

 

y

x y=x²

Рис.1

В данном случае

Имеем

¨