Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вычисление площади ограниченного участка поверхности




 

I. Определение площади участка поверхности s как предела площади вписанной многогранной поверхности при стремлении к нулю наибольшего из диаметров граней неприменимо. Это определение теряет смысл даже для очень простых поверхностей. Как показал в 1880г. немецкий математик Шварц даже для такой простой поверхности как боковая поверхность прямого кругового цилиндра указанного выше предела не существует.

В данном параграфе приводится общепринятый ныне способ введения понятия площади гладкой поверхности и ее вычисления.

Пусть в пространстве относительно заданной прямоугольной системы координат OXYZ дана ограниченная связная поверхность (s), являющаяся графиком функции

. (1)

Пусть, далее, D – проекция этой поверхности на плоскость OXY, а функция f (x;y) непрерывно-дифференцируема в D. Следовательно, в каждой точке поверхности (s) существует касательная плоскость к ней, не параллельная оси OZ. Кроме того, будем предполагать, что D – простой компакт в R2 .

Разобьем произвольным образом D на любое конечное число n квадрируемых ячеек попарно без общих внутренних точек и с площадями . Это разбиение обозначим через T. В каждой ячейке выберем произвольную точку и на поверхности s соответственно точки .

Проведем через каждую точку Mk касательную плоскость к (s) и выделим на ней ячейку , проекция которой на плоскость OXY есть .Площадь ячейки обозначим .

Ячейки образуют, так называемую, чешуйчатую поверхность (s*).

Площадь этой поверхности равна

. (2)

Пусть l(T) наибольший из диаметров ячеек( ).

Определение. Если при существует конечный предел s площади чешуйчатой поверхности (s*), то этот предел называется площадью поверхности (s), а сама эта поверхность называется квадрируемой.

Таким образом, по определению,

. (3)

Справедлива следующая

Теорема. Если поверхность (s) является графиком непрерывно-дифференцируемой в D функцией (1), то поверхность s квадрируема, причем

. (4)

à Из курса геометрии известно, что:

, (5)

где gk - величина острого угла между плоскостью OXY и касательной плоскостью к поверхности (s) в точке Mk.

Из (5) имеем:

. (6)

Для вычисления заметим, что угол gk равен углу между векторами

и

,

где -вектор, перпендикулярный плоскости OXY, - вектор, перпендикулярный касательной плоскости к (s) в точке Mk.

Найдем скалярное произведение этих векторов.

Имеем

.

С другой стороны,

.

Следовательно,

=1,

откуда

.

Поэтому, с учетом (6), имеем

.

Отсюда видим, что s* есть интегральная сумма для непрерывной в D функции .

Следовательно, существует конечный предел

.

Другими словами, поверхность (s) квадрируема и ее площадь

.

Пример 1.Вычислим площадь части сферы , заключенной внутри цилиндра (см. Рис. 7).

 

à z

y

       
   
 
 

 


4 y 0 4 x

 


x Рис. 7

à Так как указанная в условии задачи часть сферы симметрична относительно плоскости OXY , то , где s1 – площадь части полусферы , заключенной внутри цилиндра Проекция этой части полусферы на плоскость OXY есть круг

R2 .

Имеем

.

Учитывая, что

,

получим

Следовательно,

¨

II.Выведем теперь формулу для вычисления площади поверхности (s), образованной вращением кусочно-гладкой дуги вокруг оси OX(см. Рис. 8).

Уравнение этой поверхности в R3 относительно прямоугольной системы координат OXYZ имеет вид: . Возьмем часть этой поверхности, расположенную в полупространстве . Ее уравнение , а площадь .

 

y

y

M

P x

0 a b x

D

z

Рис. 8

Поскольку ,

то

а тогда вся искомая площадь

.(7)

Замечание. Если дуга пересекает отрезок в конечном числе точек, то площадь поверхности, образованной вращением этой дуги вокруг оси OX может быть вычислена по формуле .

Пример. Найдем площадь сферического пояса, полученного вращением полуокружности вокруг оси Ox .

 

à Воспользуемся формулой (7). Имеем

,

,


-R 0 a b R x

Рис.9

.

Следовательно,

.

В частности, если ,то - площадь поверхности шара радиуса R.¨

Упражнения

1. Вычислите площадь поверхности конуса , заключенной внутри цилиндра .

2. Найти площадь поверхности, вырезанную цилиндром из сферы .

3. Найти площадь части поверхности , вырезанной цилиндром и расположенной в первой октанте.







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 1600. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2019 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия