II. Замена переменных в тройном интеграле

Определение. Отображение F

(1)

тела на тело называется регулярным, если:

1) Это отображение взаимно-однозначно;

2) отображение F непрерывно-дифференцируемо в Q*,т.е. (функции имеют в Q* непрерывные частные производные 1-го порядка

3) якобиан отображения F отличен от нуля и в Q*:

.

Справедливо следующее утверждение:

Теорема. Если отображение F компакта Q* на Q регулярно, то

(2)

Замечание. Формула (2) имеет место и в случае, когда якобиан отображения (1) в отдельных точках, линиях или на поверхностях с нулевым объемом обращается в нуль, а само отображение не является взаимно-однозначным на границе тела Q.

Часто вычисление тройного интеграла значительно упрощается, если перейти от декартовых координат к цилиндрическим или сферическим.

1. Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Пусть x,y,z – декартовы координаты точки R³ относительно заданной прямоугольной сиcтемы координат OXYZ. Цилиндрические координаты этой точки - это тройка чисел r, j, z, где r, j - полярные координаты точки P (проекции точки M на плоскость OXY), а z - обычная декартова апликата z точки M ( см.Рис. 2).

z

M

 

z

y y

j r

x P

x Рис.2

Декартовы координаты точки M связаны с цилиндрическими координатами этой точки равенствами:

. (3)

Якобиан отображения (3) равен r.

.

Формула замены переменных в тройном интеграле при переходе от декартовых координат к цилиндрическим принимает вид:

. (4)

Пример. Вычислим тройной интеграл

, где

тело Q ограничено поверхностями (см. Рис. 3).

à z

z=2

y

 

D

2z = x²+y²

0 y 2 x

 

х Рис.3

 

Тело Q –правильный в направлении оси Oz простой компакт. Его проекция на плоскость OXY есть круг:

.

Переходя к цилиндрическим координатам и используя формулу (4). будем иметь:

¨;