Тройной интеграл в сферических координатах
Пусть (x;y;z) декартовы координаты точки Очевидно, легко видеть, что
x Рис. 4 Декартовы координаты x;y;z точки M связаны со сферическими координатами r, q, j этой точки соотношениями
Вычислим Якобиан отображения (5). Имеем:
и, следовательно, Формулу (3) замены переменных в тройном интеграле при переходе от декартовых координат к сферическим теперь можно записать в виде:
Замечание. Формулой (6) удобно пользоваться тогда, когда Легко видеть, что множество всех точек
à z Переходя к сферическим координатам и используя
x Рис. 5
|
R3. Сферические координаты точки М - числа r, q, j, где r – расстояние от точки M до начала координат (длина радиуса-вектора 
), q - величина угла (в радианах), образованного лучом OM с положительным направлением оси OZ, а j - величина угла, образованного лучом OP (P – проекция точки M на плоскость OXY) с положительным направлением оси OX ( см. Рис.4).
для 
z
M
q r Z
0 y y
j
x P
. (5)
.
. (6)
или когда область интегрирования есть шар 
.
является сферой радиуса r с центром в начале координат; точки 
, образуют коническую поверхность с осью OZ; при 
имеем полуплоскость, исходящую из оси OZ.
, если тело Q ограничено сферой 
(см. Рис. 5).
формулу (6), будем иметь:
y
