Тройной интеграл в сферических координатах

Пусть (x;y;z) декартовы координаты точки R³. Сферические координаты точки М - числа r, q, j, где r – расстояние от точки M до начала координат (длина радиуса-вектора ), q - величина угла (в радианах), образованного лучом OM с положительным направлением оси OZ, а j - величина угла, образованного лучом OP (P – проекция точки M на плоскость OXY) с положительным направлением оси OX ( см. Рис.4).

Очевидно, легко видеть, что для

 

z

M

 

q r Z

0 y y

j

x P

x Рис. 4

Декартовы координаты x;y;z точки M связаны со сферическими координатами r, q, j этой точки соотношениями

. (5)

Вычислим Якобиан отображения (5).

Имеем:

и, следовательно, .

Формулу (3) замены переменных в тройном интеграле при переходе от декартовых

координат к сферическим теперь можно записать в виде:

 

. (6)

Замечание. Формулой (6) удобно пользоваться тогда, когда или когда область интегрирования есть шар .

Легко видеть, что множество всех точек R³ таких, что является сферой радиуса r с центром в начале координат; точки R³, для которых , образуют коническую поверхность с осью OZ; при имеем полуплоскость, исходящую из оси OZ.

Пример. Вычислим тройной интеграл , если тело Q ограничено сферой (см. Рис. 5).

à z Переходя к сферическим координатам и используя

формулу (6), будем иметь:

 

y

x Рис. 5