II. Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть x, y – декартовы координаты точки PÎD, а r и j - полярные координаты этой точки, так что:

. (10)

Якобиан отображения (10) равен r

.

Компакт D будем называть правильным в направлении лучей , если любой луч, выходящий из начала координат и проходящий через внутреннюю точку P компакта D, пересекает границу этого компакта в двух точках P₁ и P₂. При этом точка P₁ называется точкой входа этого луча в компакт D, а точка P₂ – точкой выхода этого луча из D.

y

y

 

j=j₂

r=F₂(j)

P₂

 

P₁

j=j₁

j₂ r=F₁(j)

j₁

0 x

Рис.5

 

Далее, пусть компакт D ограничен лучами и линиями r=F₂(j) и r=F₁(j), состоящими соответственно из точек входа и точек выхода. (см. Рис. 5)

Формула (8) примет вид:

или

. (11)

Если полюс О принадлежит компакту D, то .

Пример 1. Вычислим двойной интеграл

, где R² .

à Компакт D является образом компакта (прямоугольника) при отображении:

,

якобиан которого равен r.

j

y

 

 

1

p

D*

-1 0 1 x

0 1

 

Рис.6

Поэтому, переходя от декартовых координат к полярным, согласно формуле (11) будем иметь:

 

Пример 2. Вычислим двойной интеграл

,

где R² .

 

à Область интегрирования D есть замкнутый круг радиуса с центром в точке поскольку

.

 

y

Переходя к полярным координатам и учитывая, что при

 

любом фиксированном

 

0 1 x изменяется (в пределах области) от 0 до cosj (так как

 

,

Рис. 7

будем иметь: