ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3.

Предел последовательности.

Опр.1. Пусть поставлено в соответствие вполне определенное число a (причем различным n могут соответствовать одинаковые числа). Совокупность элементов a , n=1,2,3… называется числовой последовательностью, каждый элемент a - элементом (членом) последовательности, n-его номер.

Опр.2. Число называется пределом последовательности , , если для любого сколь угодно малого действительного положительного , найдется такой номер , зависящий от , что | a - a |< при .В этом случае пишут а = а или а а при n .

Опр.3. Последовательность , n ,называется ограниченной, если существует действительное число с>0, что | a |<c при .

Пример 1. Зная несколько первых членов последовательности, написать одно из возможных выражений для общего члена:

; ; ; ; ;…

Решение: числитель каждого из заданных членов последовательности равен квадрату номера этого члена плюс единица, т.е. n +1. Знаменатели образуют арифметическую прогрессию 3,8,13,18…. с первым членом x =3 и разностью d=5. Поэтому x =x +d(n-1)=5n-2.

Следовательно, исходная формула а = .

ЗАМЕЧАНИЕ: знание нескольких первых членов последовательности еще не определяет эту последовательность.

Пример 2. Доказать, что последовательность а =(-1) sin n ограничена.

Решение: | а |=|(-1) sin n|=|(-1) | | | |sin n| =2- <2,

Отсюда, по опр.3. а -ограничена, с=2.

Пример 3. Непосредственно доказать, что при ,

Решение: Необходимо доказать, что

Пример 4. Пользуясь опр.2., доказать, что а = , если а = , начиная с какого n выполняется неравенство

| а - | <0,01.

Решение: найдем | а - | = | - | = .

Пусть >0 задано. Выберем так, чтобы выполнялось неравенство < .

Решаем это неравенство: в силу 17 действительных чисел, будем иметь 5 -1> > .

Положив = [ ]+1, получим, что при , | a - |< .

А это означает в силу опр.2. а = . Пусть =0,01, тогда n =[ ]+1= [ ]+1=6 и все члены последовательности, начиная с шестого, содержатся в U() – окрестности точки , т.е. в интервале ] [ =]0,59;0,61[.

ВАРИАНТЫ.

1.Найти 4-первых члена последовательности, если дана формула общего члена:

1) a =sin () 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25)

 

2. Зная несколько первых членов последовательности, написать одно из возможных выражений для общего члена:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25)

 

3. Доказать ограниченность последовательности:

1) a = ;

2) a = ;

3) a = ;

4) a = ;

5) a = ;

6) a = ;

7) a = ;

8) a = ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) a_n =sin n + ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

 

4. Пользуясь опр.2. доказать, что . Начиная с какого n выполняется неравенство | a - a | < 0,01:

1) a = , а =0 2) a = , а =3

3) a = , а =1 4) a =

5) a = 6) a =

7) a = 8) a =

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25)