Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10.





Производные высших порядков, ряд Тейлора.

Если функция f:ХàR,xÎR,дифференцируема в "xÎX,то на множестве X возникает функция f ¢:XàR,значение которой в точке xÎX равно производной f ¢ (x).Если же функция f ¢:XàR имеет производную (f ¢)¢:XàR на множестве x,то (f ¢)¢(x) называется второй производной функции f(x) и обозначается f ²(x) или . Если f ²(x) имеет производную (f ²(x))¢,то эта производная называется третьей производной функции f(x) или производной третьего порядка функции f(x) и обозначаются одним из символов f ²¢(x),f(3)(x),

Производная n -го порядка является производной от производной

(n -1) порядка, т.е.

f(n)=(f(n-1))/ (x)

Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются у/////(4),…у(n),

Производные n-го порядка некоторых элементарных функций:

1. ( x)(n)= xlnnx ()

2. (sinx)(n)=

3. (xm)(n)=m(m-1)…(m-n+1)xm-n

4. (ex)(n)=ex

5. (cosx)(n)=

6. (lnx)(n)=

Если функции u=j(x) и v=y(x) имеют производные n-го порядка (n- кратно дифференцируемы),

(1)

Пример 1: Вычислить n -ю производную (n ³2) функции y=x2cosx.

Решение: полагая u=cosx и v=x2, найдем

u(n)=cos(x+nп/2), v'=2x, v''=2,v''''=v(4)=…=0.

Подставляя в формулу (1), получаем

y(n)=c0ncos(x+nп/2)x2+c1ncos(x+(n-1)п/2)2x+c2ncos(x+(n-2)п/2)2

Формула (1) называется формулой Лейбница.

Опр. Функция у называется заданной параметрически, если зависимость между у и х задана системой уравнений

,tÎT

 
 

Производные этой функции могут быть найдены по формулам:

 

Пример 2. Найти производные от функции y=y(x), заданной параметрически если x=acost, y=asint

Решение:

Формула Тейлора. Пусть функция f(x) имеет в точке а и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Пусть х-любое значение аргумента из указанной окрестности, х= а. Тогда между точками а и х найдется точка x такая, что справедлива следующая формула:

Частный, простейший вид формулы Тейлора при а =0 принято называть формулой Маклорена:

Пример 3. Разложить в ряд Тейлора функции у=1/х при а =-2.

Решение: вычисляем значения данной функции и ее производных при х= а =-2

Подставляя эти значения в формулу Тейлора для произвольной функции, получим

ВАРИАНТЫ.

1. Найти

 

2. Доказать, что функция у удовлетворяет соотношению:

3. Используя формулу Лейбница, найти:

4. Используя формулу Тейлора, разложить функцию y= f (x) по степеням (х-х );

 







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 442. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Законы Генри, Дальтона, Сеченова. Применение этих законов при лечении кессонной болезни, лечении в барокамере и исследовании электролитного состава крови Закон Генри: Количество газа, растворенного при данной температуре в определенном объеме жидкости, при равновесии прямо пропорциональны давлению газа...

Ганглиоблокаторы. Классификация. Механизм действия. Фармакодинамика. Применение.Побочные эфффекты Никотинчувствительные холинорецепторы (н-холинорецепторы) в основном локализованы на постсинаптических мембранах в синапсах скелетной мускулатуры...

Шов первичный, первично отсроченный, вторичный (показания) В зависимости от времени и условий наложения выделяют швы: 1) первичные...

Мотивационная сфера личности, ее структура. Потребности и мотивы. Потребности и мотивы, их роль в организации деятельности...

Классификация ИС по признаку структурированности задач Так как основное назначение ИС – автоматизировать информационные процессы для решения определенных задач, то одна из основных классификаций – это классификация ИС по степени структурированности задач...

Внешняя политика России 1894- 1917 гг. Внешнюю политику Николая II и первый период его царствования определяли, по меньшей мере три важных фактора...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия