Решение: возьмем
Тогда соответствующие последовательности значений функции таковы:
Следовательно,
Замечание 2: Пример 2 показывает, что вывод о наличии предела функции нельзя делать, исходя из последовательности {xn} частного вида (например, исходя из xn'' =1+ предел а. Пример 3: Пользуясь "
e > 0 и рассмотрим выражение: | f (x)-1|=|4x-3-1|= 4|x-1|. Если взять de ≤ e/4, то для всех х, удовлетворяющих неравенству |x-1| < de, будем иметь | f (x)-1| = 4|x-1|<4de ≤ 4e/4=e. Следовательно, Пример 4: f (x)=1/(x-1) доказать, что Решение: По определению 0<|x- a |<d, будет выполняться условие | Следовательно, положив dM=1/М, получим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|x-1|<dM, выполняется неравенство
ВАРИАНТЫ. 1. Доказать, что предел функции не существует:
2. Доказать с помощью "e-d" определения существования следующих пределов и по заданным e, подобрать de: e1=0,5;e2=1;e3=1/100.
3. Доказать, что
|
, т.е. 
не существует
), а нужно рассматривать произвольную последовательность {xn }, имеющую заданный
– 
" определением предела, доказать, что
, если для " М>0 можно подобрать dМ>0, что для всех х¹ а, удовлетворяющих неравенству
>M. В нашем случае по заданному M>0 будем подбирать dМ из условия
1/|x-1|>M Ú |x-1|<1/M.
M, значит,
