ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8.

Производная.

Опр.1. Производной функции по аргументу называется предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента при условии, что это последнее стремиться к нулю. Производная функции обозначается .

Таким образом, по определению

Операция отыскания производной данной функции называется дифференцированием этой функции.

Геометрически число представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

Пример 1. Исходя из определения производной, непосредственно найти производную функции у=х².

Решение:

Придадим х приращение Dх и найдем приращение функции:

Dу=у(х+Dх)-у(х)=(х+Dх)²-х²=х²+2хDх+(Dх)²-х²=2хDх+(Dх)²

Основные правила нахождения производной.

Если с - постоянная величина и функции u=u(x), v=v(x), w=w(x)

имеют производные, то

1) (с)^/=0

2) (cu)^/=cu^/

3) (u+v-w)^/=u^/+v^/+w^/

4) (uv)^/=u^/v+uv^/

5)

6)

7) если функции и имеют производные, то y_x^/ =y_u^/ u_x^/.

Пример 2. Вычислить производную функции: y=(2x² –5x+1)e^x

Решение:

y^/ =(2x² –5x+1)^/ e^x +(2x² –5x+1)(e^x)^/ =(по правилу 4)=[(2x²)^/ –(5x)^/ +1^/]e^x +(2x² –5x+1)e^x =

=(по правилу 3)=(4x-5)e^x +(2x² –5x+1)e^x.

Если х- независимая переменная, то

Основные формулы.

Пример 3. Вычислить производную функции:

Решение:

Воспользуемся сначала правилом 5), а затем правилами 3) и 4) и формулами 2) и 3).

ВАРИАНТЫ.

1. Исходя из определения производной, непосредственно найти производные функций:

2. Пользуясь основными правилами нахождения производных и таблицей производных, вычислить производные функций:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9.

Дифференциал и дифференцируемость функции.

Опр.1. Функция y= f (x): v(x₀)®R называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение в этой точке Dy= f (x₀+Dx)- f (x₀).

Dx=x-x₀, представимо в виде:

Dy=A Dx+a(Dx)Dx, (1)

где А- некоторая const, не зависящая от Dx, а a(Dх)®0 при Dх®0.

Опр.2. Главная линейная часть приращения функции относительно Dх называется дифференциалом функции f в точке х₀ и обозначается d f (x₀) или, короче, dy=ADx. Таким образом,

Dy=dy+0(Dx) при Dх®0 (2).

Т.к.

Для большей симметрии записи дифференциала приращение Dх обозначают dх и и называют его дифференциалом независимого переменного. Таким образом, dy=Adx.

Пример 1. Доказать, что функция y=x²-x+3 диффенцируема

на R.

Решение: возьмем "хÎR, дадим ей приращение Dх, тогда

Dу= f (x+Dx)- f (x)=(x+Dx)²-(x+Dx)+3-(x²-x+3)=x²+2xDx+(Dx)²-x-Dx+3-x²+x-3= (2x-1)Dx+(Dx)²

где (Dх)²=0(Dх), т.к. =Dх®0 при Dх®0.

Т.о. Dу=АDх+0(Dх), где А=2х-1, т.е. Dу представимо в виде (1) в "хÎR.

Теорема: Для того, чтобы функция y= f (x):U(x₀)®R была дифференцируемой в точке х₀Û она имела производную в х₀, при этом dy= f ^/(x₀)dx.

Пример 2. Доказать, что функция не дифференцируема в точке =0.

Решение: Имеем

т.е. в точке =0 не дифференцируема.

Пример 3. Пользуясь понятием дифференциала, найти приближенное значение

Решение: рассмотрим функцию ,тогда

- есть значение данной функции при х=0,15

 

Пусть х₀=0, х=0,15. Тогда у(0)=1.

Из (2) видно, что Dy=dy, a dy=f ^/Dx,т.е.

Dy»f ^/(x)Dx, Dy=f(x+Dx)-f(x).

Отсюда f(x+Dx)»f(x)+f ^/(x)Dx. В нашем. случае x=0,

x+Dx=0,15; f(0,15)»f(0)+f ^/(0) 0,15.

Определим

ВАРИАНТЫ.

1. Доказать, что функция f (x) не дифференцируема в точке х.

2. Найти дифференциалы функций:

3. Найти приближенное значение функции:

В-1 B-2

y=x⁵-2x⁴+3x³-4x²+6, x=1,001 y=(x-3)²(x-2)³(x-4), x=4,001

B-3 B-4

y=ctgx, x=45⁰10^/ y=xln(x-2), x=3,001

B-5 B-6

(33)^1/5 lg 10,21

B-7 B-8

arctg 1,05 cos 31⁰

В-9 B-10

cos63⁰ tg46⁰

B-11 B-12

sin32⁰ ctg43⁰

B-13 B-14

sin27⁰ cos59⁰

B-15 B-16

tg43⁰ sin29⁰

B-17 B-18

cos62⁰ tg43⁰

B-19 B-20

sin33⁰ cos57⁰

B-21 B-22

ctg47⁰

B-23 B-24

B-25