За 1980-1995 гг. методом скользящей средней

Годы	Центнеров с га	Скользящие пятилетние суммы	Пятилетние скользящие средние	Скользящие четырехлетние суммы	Четырехлетние скользящие средние (нецентрированные)	Четырехлетние скользящие средние (центрированные)
А
	9,5   13,7   12,1   14,0   13,2   15,6   15,4   14,0   17,6   15,4   10,9   17,5   15,0   18,5   14,2   14,9	-   -   -   -   63,5   68,6   70,3   72,2   75,8   78,0   73,5   75,4   76,4   77,3   76,1   80,1	-   -   12,5   13,7   14,1   14,4   15,2   15,6   14,7   15,1   15,3   15,5   15,2   16,0   -   -	-   -   -   49,3   53,0   54,9   58,2   58,2   62,6   62,4   57,9   61,4   58,8   61,9   65,2   62,6	-   - 12,3   13,2   13,7   14,6   14,6   15,7   15,6   14,5   15,3   14,7   15,5   16,3   15,65   -	-   -   12,8   13,5   14,1   14,6   15,1   15,6   15,0   14,9   15,0   15,1   15,8   15,97   -   -

 

Недостаток метода простой скользящей средней состоит в том, что сглаженный ряд динамики сокращается ввиду невозможности получить сглаженные уровни для начала и конца ряда. Этот недостаток устраняется применением метода аналитического выравнивания для анализа основной тенденции.

Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде функции времени - y=f(t).

Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются различные функции: полиномы степени, экспоненты, логистические кривые и другие виды.

 

Полиномы имеют следующий вид:

полином первой степени

полином второй степени

полином третьей степени

полином n-ой степени

 

Здесь а₀; а₁; а₂;... а_n - параметры полиномов, t - условное обозначение времени. В статистической практике параметры полиномов невысокой степени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик динамического ряда. Так, параметр а₀ трактуется как характеристика средних условий ряда динамики, параметры а₁, а₂, а₃ - как изменения ускорения.

 

В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамических рядов. Согласно этому правилу полином первой степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, у которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны, полиномы второй степени - для отражения ряда динамики с постоянными вторыми разностями (ускорениями), полиномы третьей степени - с постоянными третьими разностями и т.д.

 

После выбора вида уравнения необходимо определить параметры уравнения. Самый распространенный способ определения параметров уравнения - это метод наименьших квадратов.

 

Суть данного метода изложена в главе 8.

Согласно этому методу, для нахождения параметров полинома р-й степени необходимо решить систему так называемых нормальных уравнений:

 

(9.16)

 

где n - число членов в ряду динамики: t=1,2,...,n

 

Система 9.16, состоящая из «р» уравнений, содержит в качестве известных величин , то есть суммы наблюдаемых значений уровней динамического ряда, умноженные на показатели времени в степени 0,1,2,...,р и неизвестных величин a_j. Решение этой системы относительно a₀, a₁,...,a_p и дает искомые значения параметров.

 

Системы для расчета параметров полиномов невысоких степеней намного проще. Обозначим последовательные параметры полиномов как а₀, а₁, а₂. Тогда системы нормальных уравнений для оценивания параметров прямой примет вид:

 

(9.17)

 

для параболы второго порядка (y_t=a₀+a₁t+a₂t²):

 

(9.18)

 

Решение системы (9.17) относительно искомых параметров а₀ и а₁ дает:

 

 

В статической практике применяется упрощенный расчет параметров уравнений, который заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. В этом случае упрощаются сами нормальные уравнения, кроме того уменьшаются абсолютные значения величин, участвующих в расчете. В самом деле, если до переноса начала координат t было равно 1,2,3,...,n, то после переноса t=...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,..., если число членов ряда нечетное. Если же число членов ряда четное, то t=...,-5,-3,-1,1,3,5,... Следовательно, St и все St^p у которых «р» - нечетное число, равны 0. Таким образом, все члены уравнений, содержащие St с такими степенями могут быть исключены. Системы нормальных уравнений теперь упрощаются для прямой:

 

(9.19)

для параболы второго порядка:

(9.20)

Решая системы (9.19), (9.20) относительно неизвестных параметров, получим величины параметров соответствующих полиномов.

Параметр а₁ выражает начальную скорость роста, а коэффициент а₂ - постоянную скорость изменения прироста.

 

При сглаживании ряда динамики по показательной кривой (y_t=a₀a₁^t) для определения параметров применяется метод наименьших квадратов к логарифмам исходных данных. Так, для нахождения параметров показательной функции необходимо решить следующую систему уравнений:

 

(9.21)

 

Если St=0, то параметры уравнения lga₀ и lga₁ находим по формулам: ; .

Рассмотрим следующий пример. Необходимо определить основную тенденцию ряда динамики урожайности зерновых культур в хозяйстве за 1981-1995 гг. по следующим данным (см. табл. 9.7).

Начнем определение тенденции с самого простого полинома-уравнение прямой (9.19). Решая систему нормальных уравнений, получим искомые параметры: a₀=14,8; a₁=0,17, а само уравнение запишется следующим образом что выражает тенденцию динамики урожайности зерновых культур в 1981-1995 гг., т.е. в течение исследуемого периода урожайность зерновых культур в хозяйстве увеличивалась в среднем на 0,17 ц. с га в год.

 

 

Таблица 9.7

Динамика урожайности зерновых культур в хозяйстве

и определение параметров уравнения методом наименьших квадратов

 

Годы	Урожайность ц. с га (у)	t	t2	yit	yt
	13,7	-7		-95,5	13,6
	12,1	-6		-72,6	13,8
	14,0	-5		-70,0	13,9
	13,2	-4		-52,8	14,1
	15,6	-3		-46,8	14,3
	15,4	-2		-30,8	14,5
	14,0	-1		-14,0	14,6
	17,6				14,8
	15,4			15,4	15,0
	10,9			21,8	15,1
	17,5			52,5	15,3
	15,0			60,0	15,5
	18,5			92,5	15,7
	14,2			85,2	15,8
	14,9			104,3	16,0
Итого	222,0			48,8	222,0