Уравнение баланса полной энергии

Удельная полная энергия равна сумме удельных внутренних и кинетической энергии . Закон сохранения полной энергии является обобщением первого начала термодинамики для движения сплошных сред и формулируется следующим образом: индивидуальная производная по времени от полной энергии массы среды, содержащейся в движущемся объеме равна сумме мощностей, приложенных к выделенному объему и его поверхности внешних массовых и поверхностных сил и отнесенного к единице времени количества тепловой и немеханических видов энергии, подведенной извне к данной массе. Этот закон выражается в следующей интегральной форме:

(3.30)

где – удельная мощность объемных сил; – удельная мощность поверхностных сил; – удельная, отнесенная к единице массы тепловая и иные немеханические виды мощности подведенные извне.

Третий интеграл в правой части уравнения (3.30) выражается суммой:

(3.31)

где – удельная, отнесенная к единице площади поверхности, тепловая мощность; – удельная мощность объемных немеханических источников энергии.

Для многих случаев течения сплошных сред можно полагать и уравнение (3.30) записывают в виде:

(3.32)

Интегральная форма записи уравнения баланса энергии может быть преобразована к алгебраической. Для этого область течения разбивается на конечное число фиксированных в пространстве малых но конечных контрольных объемов (КО) – . Полагают, что в пределах КО параметры изменяются линейно или экспоненциально по пространственным координатам и времени. Производные заменяются отношением приращения функций к приращениям аргументов, например:

, , (3.33)

где индексы , , соответствуют моментам времени , , соответственно, , значениям соответствуют неявные схемы, – явная схема. Интегралы заменяются произведениями средних значений по площади или объему на эти площади и объемы:

, . (3.34)

Тогда уравнения баланса полной энергии (3.32) для каждого контрольного объема записывается в виде:

, (3.35)

где – число граней контрольного объема, – номер грани.

Таким образом (3.34) представляет собой уравнение баланса полной энергии в алгебраической форме. Это уравнение может быть использовано при построении ряда вычислительных алгоритмов для расчета течений.

Для получения дифференциального уравнения баланса полной энергии преобразуем левую часть (3.23), используя закон сохранения массы:

Поверхностный интеграл в правой части (3.23) преобразуем в объемный по формуле Остроградкого-Гаусса.

Тогда из (3.23) получим:

. (3.36)

Ввиду произвольности можно приравнять подынтегральную функцию в (3.36)

(3.37)

Уравнение (3.37) представляет собой уравнение баланса полной энергии в дифференциальной форме.

Уравнение баланса полной энергии (где N – число фаз в интегральной форме) для -ой фазы аналогично (3.32), однако включает в себя слагаемое , которое характеризуется интенсивностью обмена энергией между -ыми и -ой фазами.

.

Аналогично (3.37) получается дифференциальное уравнение баланса полной энергии для -ой фазы .

.

Модели энергетического взаимодействия фаз рассматриваются в специальной литературе.