Властивості нерозкладних матриць.

1. Якщо матриця А нерозкладна, що вона не може мати ні нульових рядків ні нульових стовпчиків.

▼ Справді, якщо j стовпчик нульовий, то S={j} ізольована множина. Якщо нульовий і -ий рядок, то S= ізольована підмножина.

▲

2. Якщо матриця А нерозкладна, а вектор , то вектор

 

▼Властивість очевидна, оскільки матриця не має нульових рядків.

▲

3. Нехай А - нерозкладна матриця, вектор y 0, а і нехай z=Ay, T . Якщо при цьому і , то

 

▼Доведення. Від супротивного.

Якщо позначити і припустити , то , а . Візьмемо і тому і

. Оскільки , то це можливо лише тоді, коли . Отже S - ізольована, що суперечить, що А - нерозкладна.

▲

4. Нехай у - невід’ємний ненульовий вектор (), а вектор z=(I+A)y. Позначимо через число координат вектора у, . Тоді при і при . Крім цього, якщо А - нерозкладна, , то у нерівності будемо мати .

▼Доведення. Перш за все, оскільки , то .

Від супротивного. Припустимо, що серед координат вектора x є нульові, тобто множина непорожня. За властивістю 3) знайдеться такий що, , але тоді неможлива нерівність .

▲

5. Якщо А - нерозкладна матриця розмірності n*n, то , тобто всі елементи матриці є строго додатніми.

▼Доведення. Дійсно за властивістю 4) маємо, що

. Досить в якості y взяти

▲

6. Якщо А - нерозкладна, то для будь-якої пари індексів (i,j),

знайдеться натуральне число m таке, що (через позначено відповідний елемент матриці ).

▼Справді, запишемо розклад за формулою бінома Ньютона.

 

(2)

 

Нехай спочатку . Серед чисел обов’язково є додатне: в протилежному випадку, як впливає з формули (2), (i,j) -ий елемент матриці дорівнює нулю, а це суперечить властивості 5). Якщо ж i=j, то слід аналогічно до попереднього розглянути матрицю , яка за властивостями 2) і 6) є додатною

7. Для того, щоб матриця А була нерозкладною, необхідно і достатньо, щоб для будь-яких індексів i,j існувала послідовність така що , ,

8. Якщо матриця А нерозкладна, а число з , то в матриці не можна бути ні нульових рядків, ні нульових стовпчиків.