Або лінійна модель обміну.

Нехай маємо n країн, які ведуть між собою торгівлю. Позначимо національний прибуток j -ї країни через d_j і будемо вважати, що цей прибуток формується з продажу своїх товарів як на внутрішньому, так і на зовнішньому ринку. Структуру торговельних відносин між країнами вважаємо усталеною і частка q_{i j} прибутку d_j j -ї країни яка витрачається на імпортування товарів з i -ї країни вважається сталою, зокрема q_ij не залежить від величини прибутку d_j.

Розглянемо матрицю Q=(q_ij), яка описує структуру торгівлі, та вектор прибутків d=(d₁…d_n). Якщо країни починають торгувати у відповідності до матриці обміну Q, то, очевидно, після одного обороту торгівлі країни матимуть прибуток, який описує вектор Qd:

Qd=( ).

Оскільки кожна з країн не бажає зменшити свій прибуток в результаті торгівлі, тому

d<=Qd (3).

Дослідимо детальніше (3). Оскільки елементи матриці обміну Q=(q_ij) є частинами прибутку j -ї країни, то, очевидно

j=1..n (4)

Твердження 1. Якщо вектор d задовольняє нерівність (3), то d=Qd.

Економічне тлумачення твердження 1: Якщо при функціонуванні розглянутої моделі обміну хтось збагатився, то це обов’язково за рахунок когось із партнерів.

Тому природно виникає питання про існування і обчислення такого вектора прибутків країн-партнерів d, який справджує рівняння d=Qd в твердженні 1. Необхідна умова полягає в існуванні серед власних чисел матриці Q числа 1. Далі виникає питання про існування відповідного невід’ємного власного вектора.

Ще одне цікаве і важливе питання виникає при аналізі моделі обміну: якщо система функціонує з матрицею Q k турів, то маємо на кожному кроці (турі) такі вектори прибутків d, Qd, Q²d, Q³d, …, Q^kd. Цікаво дослідити асимптотику, при k () поведінку вектора прибутків.

Для відповіді на ці та інші питання використовуємо апарат спеціального розділу теорії матриць – теорії невід’ємних матриць.