Проверка статистических гипотез. Ошибки первого и второго рода.

Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности, которое можно проверить по выборке. Как правило, статистические гипотезы делят на гипотезы о законах распределения и гипотезы о параметрах распределения.

Пусть - закон распределения случайной величины Х, зависящий от одного параметра . Предположим, что наша гипотеза состоит в утверждении, что . Назовём эту гипотезу нулевой и обозначим её Н ₀. Альтернативной, или конкурирующей гипотезой, которую обозначим Н ₁ , будет . Перед нами стоит задача проверки гипотезы Н ₀ относительно конкурирующей гипотезы Н₁ на основании выборки, состоящей из n независимых наблюдений Х₁, Х₂, …, Х_n. Следовательно, всё возможное множество выборок объёма n можно разделить на два непересекающихся подмножества (О и W) таких, что проверяемая гипотеза Н₀ должна быть отвергнута, если наблюдаемая выборка попадает в подмножество W и принята, если выборка принадлежит подмножеству О.

Подмножество О называют областью допустимых значений, а подмножество W – критической областью. При формировании критической области возможны ошибки.

Ошибка первого рода состоит в том, нулевая гипотеза отвергается, то есть принимается гипотеза Н₁, в то время как в действительности верна гипотеза Н₀.

Ошибка второго рода состоит в том, что принимается гипотеза Н₀, а в действительности верна гипотеза Н₁.

Для любой заданной критической области будем обозначать через вероятность ошибки первого рода, а через - вероятность ошибки второго рода. Следовательно, можно сказать, что при большом количестве выборок доля ложных заключений равна , если верна гипотеза Н₀, и , если верна гипотеза Н₁. При фиксированном объёме выборки выбор критической области W позволяет сделать как угодно малой либо , либо .