Неустановившийся приток жидкости и газа к несовершенной галерее (вертикальной трещине ГРП) и горизонтальному стволу скважины по двухзонной схеме

Рассмотрим одномерное прямолинейно-параллельное движение в обычном пористом пласте. Например, в случае одностороннего притока малосжимаемой жидкости к галерее (см. рис.13.2) давление вдоль пласта распределяется по линейному закону [0≤ ≤(l ₁– h)]:

(13.6.1)

где

Р _к= const – давление на контуре питания;

Р ₀= Р _г – давление на фиктивной галерее;

K –коэффициент проницаемости пласта по горизонтали;

m – коэффициент абсолютной вязкости жидкости;

q – расход на единицу площади сечения пласта, имеющий размерность скорости;

l – длина пласта;

х –координата.

Последующее изложение задачи связано с работой [23].

1. Случай Р ₀= const, .

В соответствии с работой [37]для нестационарного притока малосжимаемой жидкости в упруго-пористой среде для малых значений t или при 1 имеем следующее решение для распределения давления и формулу дебита:

, (13.6.2)

, (13.6.2')

где

erfc Z – дополнительный интеграл вероятностей (интеграл Гаусса) [38];

Р ₀= const – давление на фиктивной галерее (см. рис. 13.2);

æ; – коэффициент пьезопроводности;

Р ₀(х) – стационарное значение давления.

Р( = Р ₀ – на контуре галереи (l ₁– h ₀).

Далее рассмотрим приток к несовершенной галерее (щели) в однородно-анизотропном пласте (см. рис. 13.2). Разделим условно область течения на две зоны [2]: I – зона пространственного движения размером по длине равной толщине пласта h ₀;II – зона одномерного плоско-параллельного движения. Галерею примем за линию стоков. Если принять h ₀как ширину укрупненной галереи и (l – h ₀) как длину пласта, то для течения в зоне II будет справедливо совместное решение (13.6.1) и (13.6.2) при х ≤(l ₁– h ₀), Р _г= Р ₀ и при замене длины l на (l – h ₀).

После ряда преобразований из указанного совместного решения получаем уравнение притока для фиктивной галереи:

(13.6.3)

где

; (13.6.4)

– параметр Фурье.

Полагая в зоне I движение квазиустановившееся [39], используем решение для одностороннего притока к несовершенной галерее (вертикальной трещине) [4,7], которое в соответствии с двухзонной схемой притока в наших обозначениях записывается в виде:

(13.6.5)

Решение (13.6.5) дает распределение давления (потенциала) в зоне пространственного движения 1 (см. рис.13.2), которое может быть использовано в расчетах предельных безводных и безгазовых дебитов горизонтальных стволов.

За расчетное давление на галерее (трещины) примем усредненное его значение вдоль вскрытой толщины пласта вертикальной трещиной

(13.6.6)

Внося (13.6.5) в (13.6.6) и интегрируя при , получаем

(13.6.7)

где

(13.6.8)

Решая совместно (13.6.3) и (13.6.7), используя формулу , после ряда преобразований определяем удельный расход жидкости q ₀ (м²/с) по вскрытой высоте трещины при двухстороннем контуре питания (l =2 l ₁):

(13.6.9)

где

(13.6.10)

(13.6.10')

При t →0, ₀=∞ имеем еrfс Z =0. Тогда для установившегося притока к "несовершенной" вертикальной трещине второе слагаемое в квадратных скобках формулы (13.6.10) обращается в нуль, а расход на единицу ширины потока q (t)= q ₀= const. Eсли трещина вскрывает всю толщину пласта то во всей области х = l ₁ имеет место плоскопараллельная фильтрация, а удельный расход, как это следует из (13.6.9) и (13.6.10) определится по формуле

(13.6.11)

2. Случай Р ₀= cоnst, .

Согласно [37] решение для нестационарного распределения давления в зоне плоскопараллельного движения II с учетом формулы (13.6.2') записывается в виде

(13.6.12)

На контуре фиктивной галерее =(l ₁– h ₀) имеем Р (, t)= Р ₀. Тогда из уравнения (13.6.12) следует

(13.6.13)

Решая совместно (13.6.1) и (13.6.13), находим

(13.6.14)

Далее, из совместного решения (13.6.5) и (13.6.14), выражая расход q (t) на единицу площади через удельный расход на единицу ширины трещины при l =2 l ₁ (с двухсторонним притоком)

(13.6.14')

после ряда преобразований получаем расчетную формулу для удельного дебита трещины (13.6.9), в которой фильтрационное сопротивление J _тр принимает выражение:

_, (13.6.15)

где

(13.6.15')

Если условие этого случая ₀<<1 не выполняется, тогда второе слагаемое в квадратных скобках следует опустить. Тогда формула (13.6.15) будет характеризовать установившийся процесс.

3. Случай заданного расхода q = q (t) на единицу площади сечения пласта (м/с)

Согласно [37] имеем

, (13.6.16)

где

. (13.6.17)

Учитывая, что Р (х, t)= Р ₀ – начальное давление на границе зон, для зоны II x = и длине пласта h (l₁ – h ₀) получаем:

, (13.6.18)

где

. (13.5.19)

Решая (13.6.18) совместно с (13.6.1), находим

. (13.6.20)

Усредненное давление вдоль трещины как функция времени определится из совместного решения (13.6.7) и (13.6.20), с учетом перехода к удельному расходу, по формуле (13.6.14') уравнением

(13.6.21)

При функция (13.6.19) принимает вид:

, (13.6.22)

где

(13.6.23)

Сделаем замену переменных: ; пределы меняются: при t =0 следует х = t;при t = t следует х =0. Интеграл преобразуется к виду

(13.6.24)

Произведем еще раз замену переменных:

.

С учетом этого интеграл (13.6.24) принимает вид:

(13.6.25)

Имеется несобственный интеграл [38]

. (13.6.26)

Сравнивая (13.6.25) и (13.6.23) и замечая, что в выражение (13.6.25) и , получаем:

;

учитывая, что (1–erf Z)=erfc Z, находим

. (13.6.27)

При имеем:

. (13.6.28)

или

. (13.6.29)

Внося (13.6.29) в выражение (13.6.27), находим Y (t)=0. Таким образом, при процесс фильтрации становится стационарным, который будет описываться уравнением (13.6.28) при Ф (t)=0.

При формула (13.6.22), входящая в (13.6.21), с учетом (13.6.27), преобразуется к виду:

(13.6.30)

где

Таким образом, внося (13.6.30) в уравнение (13.6.21), нетрудно получить формулу удельного расхода q (t) трещины, который при постоянной депрессии ΔР _тр= Р _к– Р _тр= const будет зависеть от фильтрационного сопротивления

(13.6.31)

где С ₁(ρ;, , l ^*) определяется по формуле (13.6.10'). Для "совершенной" трещины =1, следовательно С ₁=0.