Поняття випадкового процесу. Вiнерiвський та Пуасонiвський процеси.

Озн. Випадковий процес - це система в.в. , , - проміжок часу, яка описує еволюцію процесу, що досліджується, - значення характеристики, що досліджується, в момент

У ТЙ:

ВП - множина в.в. , визначена на одному і тому ж імовірністному просторі . інтерпретується як час.

Класифікація ВП:

1) за типом :

а) - дискретна, - процеси з дискретним часом.

У цьому випадку ВП - це послідовність в.в.

б) - процеси з неперервним часом.

2) За типом множини значень:

- дискретні - процеси з дискретним часом

- неперервні - процеси з неперервним часом

3) За способом опису спільних розподілів

Множину значень називають також множиною можливих станів.

- поле

 

Озн. 1)Процесом з незалежними приростами називається випадковий процес, визначенийй для із дискретною або неперервною множиною станів, для якого виконується умова: для будь-якого скінченого набору моментів часу випадкові величини - незалежні.

2) Однорідні ПНП - це процеси, у яких:

а) ;

б) розподіл залежить тільки від , тобто співпадає з розподілом .

3) Стохастично-неперервні ОПНП - це такі, у яких , тобто

Характеристична функція для с/н ОПНП

Із властивостей характеристичних функцій випливає, що

, .

 

Теорема Характеристична функція с/н ОПНП представляється у вигляді , де - кумулянта процесу.

Висновок: для задання с/н ОПНП необхідно і достатньо задати кумулянту

Теорема. (Про представлення кумулянти)

Кумулянта представляється у вигляді:

, де , - скінчена міра, що не має атома в нулі: .