Нерiвнiсть Чебишева. Закон великих чисел.

Говорять, що послідовність випадкових величин , по ймовірності збігається до випадкової величини , якщо для довільного

Р { }=0. Збіжність по ймовірності послідовності до позначають так: ₌plim , або _.

Нехай послідовність випадкових величин, для яких існують М . Законом великих чисел називають теореми, які стверджують, що різниця збігається до нуля по ймовірності.

Нерівність Чебишева:

, де - математичне сподівання та дисперсія в.в. відповідно.

 

Теорема Чебишова. Нехай { }- послідовність незалежних випадкових величин, існують D i D при всіх n. Тоді . (*)

Наслідок. Нехай ₁, ₂,…, _n,…- послідовність незалежних випадкових величин така, що М =а, D , n=1,2,…

Тоді для кожного .

Цей частковий випадок теореми Чебишова дає обгрунтуваня правилу середнього арифметичного в теорії обробки результатів вимірювання. Припустимо, що необхідно виміряти деяку фізичну величину а. Повторюючи вимірювання n раз в одинакових умовах, спостерігач одержує результати вимірювань ₁, ₂,…, _n [1]. Якщо спостереження не мають систематичної помилки, тобто М =а, то згідно сформульованому вище наслідку,

Теорема Хінчина. Нехай { }- послідовність незалежних одинаково розподіленихвеличин, які мають скінчене математичне сподівання М =а. Тоді для кожного .

Теорема Маркова. Нехай випадкові величини ₁, ₂,…, _nякзавгодно залежні. Для виконання (*) достатньо, щоб

при .

Теорема Бернуллі. Нехай маємо послідовність випробовувань, в кожному з яких можуть бути два наслідки- успіх У (з ймовірністю р) або невдача Н (з ймовірністю q=1-p) незалежно від наслідків інших випробувань. Утворимо послідовність випадкових величин наступним чином. Нехай _к =1, якщо в к-тому випробовуванні був успіх _к =0, якщо в к-тому випробовуванні наступила невдача. Тоді { }- є послідовність незалежних одинаково розподілених випадкових величин M _к=p, D _к=pq. Випадкова величина представляє собою частоту появи успіху в перших n випрбуваннях. Оскільки для послідовності { }-виконані умови теореми Чебишова, то із теореми Чебишова одержуємо наступне твердження.

Теорема Бернуллі. Для довільного Р{ при n .

Зміст цього твердження полягає в тому, що ведене нами визначення ймовірності відповідає інтуїтивному розумінню ймовірності як границі частоти.

Теорема. Нехай - незалежні однаково розподілені випадкові величини, причому , тоді

.

Закон великих чисел є математичниимпідгрунтям для частотного визначення математичного сподівання як інтегральної характеристики розподілу: .