Аксiоматичне означення ймовiрностей. Формула повної ймовiрностi та формула Байеса.

Теорiя ймовiрностей та математична статистика

1. Аксiоматичне означення ймовiрностей. Формула повної ймовiрностi та формула Байеса.

2. Випадковi величини. Властивостi функцiй розподiлу.

3. Нерiвнiсть Чебишева. Закон великих чисел.

4. Основнi типи дискретних та неперервних розподiлiв.

5. Центральна гранична теорема для однаково розподiлених незалежних випадкових величин.

6. Поняття випадкового процесу. Вiнерiвський та Пуасонiвський процеси.

7. Випадкове середнє та дисперсiя. Емпiрична функцiя розподiлу. Теореми Глiвенка та Колмогорова.

8. Перевiрка статистичних гiпотез. Критерiї Колмогорова та Пiрсона.

 

Аксiоматичне означення ймовiрностей. Формула повної ймовiрностi та формула Байеса.

Спочату введемо кілька допоміжних понять.

Озн. Множина U є алгеброю, якщо

1)

2) і

3).

Озн. Множина U є - алгеброю, якщо

1)

2) і

3).

Будемо вважати, що множина всіх подій утворює -алгебру.

Озн. Числову функцію, задану на множині всіх подій U, будемо називати ймовірністю, якщо

1. Р(А) 0;

2. Р()=1; Р()=0;

3. .

Озн. Ймовірносний простір- це трійка об’єктів: ().

Озн. Під аксіоматикою теорії ймовірності розуміють три властивості, накладені на U, і три властивості накладені на Р.

Відомо ряд важливих наслідків з цих властивостей, які легко доводяться. Приведемо їх.

1. Якщо , то _.

2. .

3. P()= 0.

4. P()=P(A)+P(B)-P(), .

5. Неперервність зверху:

і = , тоді має місце .

Озн. Умовною ймовірністю прийнято називати величину Р(А/В)=

Озн. А і В - незалежні події, якщо Р()=Р(А)Р(В).

Озн. Кажуть, що утв-ють повну групу подій, якщо

.

Формула повної ймовірності має вигляд, якщо - повна група подій,

. Дійсно

 

Формула Баєса відповідно має вигляд (при тих же припущеннях)