Випадкове середнє та дисперсiя. Емпiрична функцiя розподiлу. Теореми Глiвенка та Колмогорова.

Озн. Вибірка - мат. модель незалежних вимірювань, що проводяться в однакових умовах.

Основною характеристикою вибірки є емпірична функція розподілу.

Озн. Емпірична функція розподілу - це функція вигляду

, де

інакше кажучи, це сума тих елементів вибірки, поділена на n, які попали лівіше,ніж n. Очевидно, що ця функція також випадкова.

Озн. Варіаційний ряд- елементи вибірки, розміщені в порядку зростання:

.

Озн. Кажуть, що послідовність випадкових величин збігається за ймовірністю до , якщо

,

та .

Має місце слідуюча теорема:

Теорема. Якщо F(x) - теоретична функція розподілу, то справедливе наступне твердження:

.

Доведення. Нехай x_k - довільний елемент вибірки. Розглянемо множини та . В схемі Бернуллі

р = F(x)=p, p = 1 - F(x) = q.

Тоді для кожного x емпірична функція розподілу буде показувати кількість успіхів, поділену на n, в схемі Бернуллі з n випробуваннями та характеристиками p та q. Далі, за законом великих чисел в схемі Бернуллі маємо

, що і доводить теорему.

Все.

Озн. Вибірковий момент 1-го порядку - вибіркове середнє визначається для вибірки з генеральної сукупності за формулою:

, а вибіркова дисперсія - центрований момент 2-го порядку:

².

Також мають місце слідуючі важливі теореми.

Теорема Глівенка.

Для довільної функції розподілу справедливе твердження

.

Теорема Колмогорова.

Для довільної неперервної функції розподілу F(x) справедливе наступне твердження:

,

де K(z) - функція розподілу Колмогорова.

Тобто

K(z)=

Тобто якщо задати якесь значення і підібрати таке , що К()= , то з ймовірністю (1- ) для всіх x: