Разностное уравнение

Взаимосвязь между воздействием и реакцией – соотношение вход/выход – может описываться разностным уравнением (РУ)

, (1.14)

где , – коэффициенты уравнения (вещественные константы);

– воздействие и реакция (вещественные или комплексные сигналы);

i, k – значения задержек воздействия и реакции соответственно;

N, M – константы;

– воздействие и реакция, задержанные на i и k периодов дискретизации соответственно.

Коэффициенты и называются внутренними параметрами (параметрами) ЛДС.

Для нормированного времени разностное уравнение (1.14) принимает вид

. (1.15)

Линейная дискретная система, соотношение вход/выход которой описывается в виде разностного уравнения (1.15), отвечает условиям физической реализуемости: принулевыхначальныхусловиях (1.9) реакция не может возникнуть раньше воздействия; значения реакции в каждый момент времени зависят только от текущего и предшествующих значений воздействия, но не зависят от его последующих значений (см. п. 1.3).

Разностное уравнение (1.15) решается методом прямой подстановки при нулевых начальных условиях (1.9), следовательно, оно непосредственно описывает алгоритм вычисления реакции по известному воздействию и параметрам ЛДС.

Пример 1.2. Решить разностное уравнение

методом прямой подстановки при заданном воздействии и нулевых начальных условиях

.

Требуется определить 5 отсчетов реакции.

Решение приведено в табл. 1.2.

Таблица 1.2