Правило округления чисел

 

Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все цифры, стоящие справа от n-й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом:

 

1) если первая отброшенная цифра меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняют без изменения;

 

2) если первая отброшенная цифра больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляют единицу;

 

3) если первая отброшенная цифра равна 5 и среди остальных отброшенных цифр есть ненулевые, то к последней оставшейся цифре прибавляют единицу;

 

4) если первая из отброшенных цифр равна 5 и все отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра оставляется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если - нечетная (правило четной цифры).

 

Это правило гарантирует, что сохраненные значащие цифры числа являются верными в узком смысле, т. е. погрешность округления не превосходит половины разряда, соответствующего последней оставленной значащей цифре. Правило четной цифры должно обеспечить компенсацию знаков ошибок.

 

Пример 1.10. Приведем примеры округления до четырех значащих цифр:

а) 3.1415926 = 3.142;

Δ_p = |3.142 – 3.1415926| < 0.00041 < 0.0005;

 

б) 1 256 410 = 1 256 000;

Δ_p = |1 256 000 - 1 256 410| < 500;

 

в) 2.997925 • 10⁸ = 2.998 • 10⁸;

Δ_p = |2.998 • 10⁸ – 2.997925 • 10⁸| = 0.000075 • 10⁸ < 0.0005 • 10⁸.

 

Следующая теорема выявляет связь относительной погрешности числа с числом верных десятичных знаков.

 

Теорема 1.1. Если положительное приближенное число имеет n верных значащих цифр, то его относительная погрешность δ не превосходит величины 10^1-n деленной на первую значащую цифру α_n,:

δ <10^1-n / α_n (1.11)

 

Формула (1.11) позволяет вычислить предельную относительную погрешность

 

δ =10^1-n / α_n (1.12)

Пример 1.11. Найти относительную и абсолютную погрешности приближенных чисел: а) 3.142, б) 2.997925 • 10⁸.

Решение.

а) Здесь n = 4, α_n = 3. Используем формулу (1.12) для оценки относительной погрешности: δ =10^1-n / α_n = 0.001/3 ≈ 0.00033.

Для определения абсолютной погрешности применим формулу (1.10):

Δ_a = |а_р| δ_а = 3.142 * 0.00033 = 0.001.

 

б) Аналогично вычислим: n = 7, α_n = 2, δ_а = 10^1-n / α_n = 0.000001/2 = 0.0000005;

Δ_a = |а_р| δ_а = 2.997925 10⁸ • 0.0000005 ≈ 150.