Интерполяционный многочлен Лагранжа. Теорема о единственности.
Перейдем к случаю глобальной интерполяции, то есть построению интерполяционного многочлена, единого для всего отрезка [x0, xn]. При этом график интерполяционного многочлена должен проходить через все заданные точки. Запишем искомый многочлен в виде: Из условий равенства значений этого многочлена в узлах xi соответствующим заданным табличным значениям yi, получим систему уравнений для нахождения коэффициентов a0, a1,...,an:
Рассмотрим более простой алгоритм построения интерполяционных алгоритмов. Будем искать многочлен в виде линейной комбинации множеств степени n. Потребуем, чтобы каждый многочлен Подставив эти формулы в исходный многочлен получим: Эта формула называется интерполяционным многочленом Лагранжа. Докажем, что этот многочлен является единственным. Допустим противоположное: пусть существует еще один многочлен F(x) степени n, принимающий в узлах интерполяции значения табличной функции, то есть F(xi) = yi, i = 0,n. Но не совпадающий с L(x). Так как F(xi) = yi и L(xi) = yi, то разность R(x) = L(x) - F(x), являющаяся многочленом степени не более n в узлах xi =0 Если R(x)=L(x)-F(x) ≠ 0, то разность R(x) (будучи многочленом не выше n-й степени- это следует из вида многочлена L(x), в котором n+1 слагаемое, каждое по n множителей), в силу основной теоремы высшей алгебры имеет n корней. Это противоречит виду R(x). [ Основная теорема алгебры: каждое алгебраическое уравнение n-й степени коэффициенты, которого a1,a2,...,an - действительные или комплексные числа, имеет ровно n корней действительных или комплексных.] Это противоречит равенствам:
Возникло противоречие: многочлен, который не может иметь более n корней, имеет n+1 корень. Следовательно, многочлены L(x) и F(x) тождественны (L(x) F(x)). Из формулы интерполяционного многочлена Лагранжа
|