Закон сохранения механической энергии и импульса.

12.1. Клин массой M = 0,5 кг с углом при основании a = 30^о покоится на гладкой горизонтальной плоскости. На наклонную поверхность клина ставят заводной автомобиль массой m = 0,1 кг и опускают без начальной скорости, после чего автомобиль начинает движение вверх по клину. Найдите скорость автомобиля относительно клина в момент, когда клин приобретет относительно плоскости скорость v = 2 см/с. [ ]

12.2. На прямолинейном горизонтальном участке пути стоят N = 5 отдельных вагонов. Промежутки между соседними вагонами одинаковы и равны L = 30 м. К крайнему вагону подкатывается еще один такой же вагон, имеющий скорость v _o = 2 м/с. В результате N последовательных столкновений, в каждом из которых сталкивающиеся вагоны сцепляются вместе, все N + 1 вагонов соединяются в один состав. Найти время t между первым и последним столкновением. Силами сопротивления движению вагонов пренебречь. [ ]

12.3. На гладком горизонтальном столе покоится «горка» (рис. 12.1), угол наклона которой плавно изменяется от некоторого значения до нуля. С вершины «горки» соскальзывает без трения небольшое тело массой m. Какова будет скорость тела после соскальзывания, если высота «горки» h, масса M. Трением между горкой и столом пренебречь. [ ]

12.4. На пути тела A, скользящего по гладкому горизонтальному столу, находится незакрепленная «горка» высотой H. При какой минимальной скорости тело сможет преодолеть «горку»? Тело движется не отрываясь от горки. Трения нет. Масса горки M, масса тела m. [ ]

12.5. Преграда массой M = 10 кг, имеющая цилиндрическую поверхность с радиусом R = 0,2 м, расположена на горизонтальной плоскости. Тело массой m = 1 кг с начальной горизонтальной скоростью v _o = 3 м/с, скользя, поднимается по цилиндрической поверхности. Определить скорость тела на высоте, равной радиусу R (в точке A). Трением пренебречь. [ ]

12.6. На гладкой горизонтальной поверхности около стенки стоит симметричный брусок массой m ₁ с углублением полусферической формы радиусом R (рис. 12.2). Из точки A без трения соскальзывает маленькая шайба массой m ₂. Найти максимальную скорость бруска при его последующем движении. [ ]

12.7. Два небольших тела, находящиеся на концах горизонтального диаметра гладкой полусферы радиуса R = 20 см, соскальзывают без начальных скоростей навстречу друг другу. После столкновения тела «слипаются» и далее движутся как одно целое. Найти отношение a масс тел, если максимальная высота над нижней точкой полусферы, на которую поднимаются слипшиеся тела после столкновения, h = 5 см. Трение не учитывать. [ ]

12.8. Гибкая однородная цепь длиной L может двигаться по желобу, имеющему форму равнобедренного треугольника с углом 2a при вершине и расположенному в вертикальной плоскости. Трение отсутствует, предполагается, что цепь прилегает к желобу. Найти наименьшую начальную скорость цепи, необходимую для преодоления горки. В начальный момент положение цепи показано на рисунке 12.3. [ ]

12.9. Два шарика с одинаковой массой m соединены невесомой пружиной (рис. 12.4) жесткости k и длиной L и лежат неподвижно на гладком горизонтальном столе. Третий шарик массой m движется со скоростью v _o по линии, соединяющей центры первых двух, и упруго соударяется с одним из них. Предполагая, что время соударения шариков мало по сравнению со временем деформации пружины, определить максимальное расстояние между первыми двумя шариками при их дальнейшем движении. [ ]

12.10. Граната разрывается в наивысшей точке траектории на два одинаковых осколка. Один из осколков летит в обратном направлении с той же по модулю скоростью, которую имела граната до разрыва. На каком расстоянии l от места бросания гранаты упадет на землю второй осколок, если расстояние по горизонтали от места бросания до точки, над которой произошел разрыв гранаты, составляет a = 15 м? Граната брошена от поверхности земли. [ l = 4 a = 60 м]

12.11. Граната массой m = 1 кг разорвалась на высоте h = 6 м над землей на два осколка. Непосредственно перед разрывом скорость гранаты была направлена горизонтально и по модулю равна v = 10 м/с. Один осколок массой m ₁ = 0,4 кг полетел вертикально вниз и упал на землю под местом разрыва со скоростью v₁ = 40 м/с. Определите модуль скорости второго осколка сразу после разрыва?

[ ]

12.12. Кузнечик сидит на одном из концов соломинки длиной l = 50 см, покоящейся на гладком полу. С какой минимальной относительно пола скоростью v _o он должен прыгнуть, чтобы при приземлении попасть точно на второй конец соломинки? Масса кузнечика в a = 3 раза больше массы соломинки. Размерами кузнечика и трением между соломинкой и полом пренебречь. [ ]

12.13. Из пушки производится выстрел таким образом, что дальность полета снаряда в a = 2 раза превышает максимальную высоту траектории. Считая известной величину начального импульса снаряда p _o = 1000 кг×м/с, определите величину его импульса p в верхней точке траектории. [ ]

12.14. Два груза массами m ₁ и m ₂ подвешены на концах нити, перекинутой через блок. Оба груза вначале неподвижны и находятся на одной высоте h над горизонтальной подставкой. Найти величину изменения импульса системы грузов D p за время, прошедшее от начала их движения до момента, когда один из грузов коснется подставки. Нить невесома и нерастяжима, блок невесом.

[ ]

12.15. На покоящийся на гладком горизонтальном столе клин массой M = 1 кг с высоты h = 10 г и отскакивает под углом a = 30^о к горизонту. Найти скорость клина v после удара. Соударение между шариком и клином считать абсолютно упругим.

[ ]

12.16 Тело массой m _o = 0,1 кг подвешено на длиной невесомой нити. Нить отклонили так, что тело поднялось на высоту h = 0,4 м. После этого тело отпустили. В момент, когда оно проходило нижнюю точку траектории, в тело попал точно летевший пластилиновый шарик, который прилип к телу, после чего тело остановилось С какой скоростью летел, если его масса m ₁ = 7 г. [ ]

12.17. Шар массой M = 1 кг подвешен на нити длиной l = 1,25 м. В шар попадает пуля массой m = 10 г, летевшая со скоростью v = 500 м/с под углом a = 45^о к горизонту, и застревает в нем. Определить максимальный угол b отклонения нити от вертикали. [ ]

12.18. С горки высоты h = 2 м с углом наклона a = 45^о начинают скатываться санки с нулевой начальной скоростью. Найти скорость санок v у основания горки, если на верхней половине горки коэффициент трения пренебрежимо мал, а на нижней половине коэффициент трения m = 0,1. [ ]

12.19. С наклонной плоскости, составляющей угол a = 45^о с горизонталью, соскальзывает тело и ударяется о выступ, перпендикулярный наклонной плоскости. Считая удар о выступ абсолютно упругим, найти, на какую высоту h поднимется тело после удара. Начальная высота тела H = 1 м, коэффициент трения тела о плоскость m = 0,5. [ ]

12.20. На горизонтальной плоскости лежит деревянный брусок массой M = 100 г. В брусок попадает пуля массой m = 10 г, летящая горизонтально со скоростью v ₁ = 800 м/с, и пробивает его насквозь. Скорость пули после вылета из бруска v ₂ = 200 м/с. Какое количество энергии Q перешло в тепло в процессе удара? Трением пренебречь. [ ]

12.21. На горизонтальной плоскости лежит деревянный брусок массой M = 4 кг, прикрепленный к вертикальной стенке пружиной с коэффициентом упругости k = 100 Н/м. В центр бруска попадает пуля массой m = 10 г, летящая горизонтально и параллельно пружине, и застревает в нем. Определить скорость пули, если максимальное сжатие пружины после удара составило D l = 30 см. Трением бруска о плоскость пренебречь. [ ]

12.22. Из покоящейся пушки массой M = 500 кг, находящейся на гладкой горизонтальной поверхности, производится в горизонтальном направлении выстрел. После выстрела снаряд массой m = 10 кг имеет скорость относительно земли v = 500 м/с. Какое количество энергии E выделилось при сгорании пороха, если кинетическая энергия снаряда и пушки после выстрела равна a E. При расчетах принять a = 1/3. [ ]

12.23. Граната брошена от поверхности земли под углом a = 30^о к горизонту с начальной скоростью v _o = 10 м/с. В верхней точке траектории граната разрывается на два одинаковых осколка, скорости которых сразу после взрыва направлены горизонтально. На каком расстоянии l друг от друга упадут осколки, если кинетическая энергия, сообщенная им при взрыве, E = 18 Дж, а масса гранаты m = 1 кг? Сопротивлением воздуха пренебречь. [ ]

12.24. С пристани на палубу покоящегося не пришвартованного катера массы M = 500 кг бросают с горизонтальной скоростью v = 5 м/с ящик массы m = 50 кг, который в результате трения о палубу останавливается на ней. Какое количество тепла Q выделится при трении ящика о палубу? Сопротивлением воды движению катера пренебречь. [ ]

12.25. Человек массой M = 70 кг, неподвижно стоявший на коньках, бросил вперед в горизонтальном направлении снежный ком массой m = 3,5 кг. Какую работу A совершил человек при броске, если после броска он откатился назад на расстояние S = 0,2 м? Коэффициент трения коньков о лед m = 0,01?

[ ]

12.26. Опираясь о барьер катка, мальчик бросил камень горизонтально со скоростью v ₁ = 5 м/с. Какова будет скорость камня относительно мальчика, если он бросит камень горизонтально, совершив при броске прежнюю работу, но стоя на гладком льду? Масса камня m = 1 кг, масса мальчика M = 50 кг. Трением о лед пренебречь. [ ]

12.27. Между двумя кубиками с массами m и M находится сжатая пружина. Если кубик с массой M удерживать на месте, а другой освободить, то он отлетает со скоростью v. С какой скоростью v ₁ будет двигаться кубик массы m, если оба кубика освободить одновременно? Деформация пружины одинакова в обоих случаях. Трением и массой пружины пренебречь. [ ]

12.28. Два тела, которые первоначально покоилась на гладкой горизонтальной плоскости, расталкиваются зажатой между ними пружиной и начинают двигаться поступательно со скоростями v ₁ = 3 м/с и v ₂ = 1 м/с. Вычислите энергию W, которая была запасена в пружине, если известно, что суммарная масса обоих тел M = 8 кг. Пружина невесома. Трение отсутствует. [ ]

12.29. На невесомой нити, перекинутой через неподвижный цилиндр, подвешены два груза с массами m ₁ = 10 кг и m ₂ = 1 кг. Первоначально грузы удерживают на одной высоте. При освобождении грузов без начальной скорости первый из них опускается на высоту h = 2 м за время t = 1 c, двигаясь равноускоренно. Какое количество тепла Q выделяется из-за трения нити о поверхность цилиндра за это время? Ускорение свободного падения g = 10 м/с². [ ]

12.30. Канат длиной l = 2 м переброшен через блок. В начальный момент канат покоится и по обе стороны от блока свешиваются равные его отрезки. Затем, в результате незначительного толчка равновесие канатов нарушается и он приходит в движение. Какова будет скорость каната v в тот момент, когда с одной стороны блока будет свешиваться отрезок длиной l ₁ = 1,5 м? Массой блока и его размерами пренебречь, энергию толчка и трение в блоке не учитывать.

[ ]