Якобианы. Свойства

IV. Теория термодинамических потенциалов

 

Якобианы. Свойства

 

Пусть в области Ω на плоскости x, y задана функция f (x, y) и требуется вычислить интеграл

 

I = .

 

В частном случае, когда подынтегральная функция равна единице, этот интеграл дает площадь области Ω.

При вычислении интеграла иногда лучше перейти к другим независимым переменным. Пусть это будут ξ и η. Старые и новые независимые переменные связаны некоторыми функциональными уравнениями

 

x = x (ξ, η), y = y (ξ, η). (34.1)

 

При этом область Ω на плоскости x, y преобразуется в область ω на плоскости ξ, η. При переходе к новым переменным интеграл примет вид

 

I = .

 

Здесь D – функциональный определитель (якобиан) для двух переменных:

 

D = ¶(x, y) / ¶(ξ, η) = =

(34.2)

= (¶ x / ¶ξ)(¶ y / ¶η) – (¶ x / ¶η)(¶ y / ¶ξ).

 

Геометрический смысл его заключается в том, что абсолютная величина D дает коэффициент изменения элементарной площади при переходе от (x, y)- к (ξ, η)-плоскости.

Поведение якобиана преобразования (x, y) ® (ξ, η) имеет непосредственное отношение к вопросу об однозначности соответствия между точками (x, y)- и (ξ, η)-плоскостей. Пусть достаточно малой окрестности точки (ξ, η) согласно уравнениям (34.1) отвечает множество точек (x, y). Доказывается теорема.

Если функции (34.1) непрерывно дифференцируемы в некоторой области значений переменных ξ, η и если якобиан (34.2) отличен в ней от нуля, то в достаточно малой окрестности произвольной точки (ξ, η) этой области уравнения (34.1) определяют взаимно однозначное соответствие этой окрестности точки (ξ, η) и отвечающего ей множества точек (x, y).

Другими словами, каждой точке первой области соответствует одна и только одна точка второй области, и наоборот. Теорема является простым следствием известной теоремы Крамера из алгебры линейных уравнений. Между дифференциалами величин x, y, ξ, η имеются линейные связи

 

dx = (¶ x /¶ξ) d ξ + (¶ x /¶η) d η,

 

dy = (¶ y /¶ξ) d ξ + (¶ y /¶η) d η.

 

Для того чтобы эта система уравнений была разрешима относительно d ξ и d η, и чтобы решение ее было единственным, определитель из коэффициентов (как раз якобиан D) должен быть отличен от нуля. В противном случае решение или отсутствует, или неоднозначно. Якобиан (34.2) тождественно равен нулю, если функции (34.1) не являются независимыми, т. е. между ними существует функциональная связь. Указанная теорема имеет особое значение в термодинамике в связи с широким использованием геометрических образов на (p, V) –, (T, S) – и других диаграммах.

В дальнейшем будут использоваться следующие свойства якобианов:

1. При перестановке функций или независимых переменных изменяется знак якобиана:

 

¶(x, y)/¶(ξ, η) = – ¶(y, x)/¶(ξ, η) = ¶(y, x)/¶(η, ξ).

 

2. Теорема умножения якобианов.

 

¶(x, y)/¶(u, v) = ¶(x, y)/¶(ξ, η) × ¶(ξ, η)/¶(u, v).

 

Она следует из известных формул дифференциального исчисления вида

 

(¶ x /¶ u) _v = (¶ x /¶ξ)_η × (¶ξ/¶ u) _v + (¶ x /¶η)_ξ × (¶η/¶ u) _v.

 

Это формулы дифференцирования сложных функций, когда x и y зависят от u и v не прямо, а через посредство функций ξ(u, v) и η(u, v).

Действительно, пусть

 

x = x (ξ(u, v), η(u, v)), y = y (ξ(u, v), η(u, v)).

 

Тогда

 

¶(x, y)/¶(u, v) = (¶ x /¶ u) _v (¶ y /¶ v) _u – (¶ x /¶ v) _u (¶ y /¶ u) _v =

 

= ¶ x /¶ξ × ¶ y /¶ξ × (¶ξ/¶ u × ¶ξ/¶ v – ¶ξ/¶ v × ¶ξ/¶ u) +

 

+ ¶ x /¶ξ × ¶ y /¶η × (¶ξ/¶ u × ¶η/¶ v – ¶ξ/¶ v × ¶η/¶ u) +

 

+ ¶ x /¶η × ¶ y /¶ξ × (¶η/¶ u × ¶ξ/¶ v – ¶η/¶ v × ¶ξ/¶ u) +

 

+ ¶ x /¶η × ¶ y /¶η × (¶η/¶ u × ¶η/¶ v – ¶η/¶ v × ¶η/¶ u) =

 

= (¶ x /¶ξ × ¶ y /¶η – ¶ x /¶η × ¶ y /¶ξ) × (¶ξ/¶ u × ¶η/¶ v – ¶ξ/¶ v × ¶η/¶ u) =

 

= ¶(x, y)/¶(ξ, η) × ¶(ξ, η)/¶(u, v).

 

Свойство доказано.

3. Если использовать предыдущее свойство и положить u = x и v = y, то получается выражение для обратного якобиана:

 

¶(ξ, η)/¶(x, y) = (¶(x, y)/¶(ξ, η))^–1.

 

4. Частную производную можно записать в виде якобиана. Пусть y ≡ η. Тогда (¶ y /¶ξ)_η = 0 и (¶ y /¶η)_ξ = 1. Поэтому

 

¶(x, η)/¶(ξ, η) = = .

 

Итак,

= ¶(x, η)/¶(ξ, η) = ¶(η, x)/¶(η, ξ).

 

35. Якобиан преобразования (T, S) →(p, V)

 

Внутренняя энергия U – функция состояния. Если начальное и конечное состояния совпадают, то изменение внутренней энергии в процессе равно нулю независимо от промежуточных состояний системы (для них внутренняя энергия может и не определяться). Таким образом, для произвольного кругового процесса

 

Δ U = 0. (35.1)

 

Если круговой процесс равновесный, то вместо равенства (35.1) можно написать

 

= 0. (35.2)

 

В силу равенства (35.2) из основного термодинамического тождества (29.9) для закрытых систем следует

 

, или . (35.3)

 

Справа в этом интегральном соотношении работа A системы за круговой процесс; она равна площади этого процесса на (p, V)-диаграмме. Слева количество теплоты Q, полученное системой за тот же круговой процесс. Данный процесс можно рассмотреть также и на (T, S)-диаграмме. Площадь на ней за круговой процесс численно равна Q. Соотношение (35.3) выражает эквивалентность площадей на (p, V)- и (T, S)-диаграммах (равенство работы A и теплоты Q). К слову сказать, (T, S)-диаграмма часто используется в термодинамических исследованиях. На ней обратимый цикл Карно представляется в виде прямоугольника (рис. 15).

 

T T 1 T 2
	S
	Рис. 15

Из равенства площадей на (p, V)- и (T, S)-диаграммах следует, что якобиан преобразования (T, S) ® (p, V) равен единице:

 

¶(T, S)/¶(p, V) = 1. (35.4)

 

Это калибровочное соотношение. Оно устанавливает соответствие между температурной и энтропийной шкалами. Шкала для измерения геометрических величин: длины, площади, объема – и шкала для силы, в том числе давления, установлены в механике; выше введена температурная шкала. Соотношение (35.4) определяет шкалу энтропии, или, в более широком смысле, устанавливает соответствие между шкалами T и S.

Одновременно соотношение (35.4) есть условие того, что правая часть тождества (29.9) – полный дифференциал. В самом деле, если внутренняя энергия задана как функция энтропии и объема

 

U = U (S, V), (35.5)

 

то ее первый (полный) дифференциал равен

 

dU = (¶ U /¶ S) _VdS + (¶ U /¶ V) _SdV.

 

Сравнение его с выражением (29.9) дает

 

(¶ U /¶ S) _V = T, (¶ U /¶ V) _S = – p. (35.6)

 

Повторным дифференцированием можно получить

 

¶² U / (¶ V ¶ S) = (¶ T /¶ V) _S, ¶² U / (¶ S ¶ V) = – (¶ p /¶ S) _V.

 

Отсюда на основании известной из математического анализа теоремы о перемене порядка дифференцирования следует соотношение взаимности, или соотношение Максвелла

 

(¶ T /¶ V) _S = – (¶ p /¶ S) _V. (35.7)

 

Оно является условием того, что выражение (29.9) для dU – полный дифференциал. Если теперь перейти в этом условии к якобианам, поделив предварительно на правую часть, то оно примет вид условия калибровки (35.4).