Упругие стержни

 

Развитый выше математический аппарат термодинамики с успехом применяется для исследования не только газов, но и других систем. В качестве первого примера рассматривается термодинамика стержней.

Пусть стержень длины l растягивается силой f. Работа стержня при растяжении его на dl выражается формулой δ A = – fdl. Основное уравнение термодинамики соответственно принимает вид

 

dU = TdS + fdl, (45.1)

 

и условие калибровки записывается следующим образом:

 

¶(T, S) / ¶(f, l) = – 1. (45.2)

 

Термическое уравнение состояния должно связывать величины f, l и T. В области упругих деформаций справедлив закон Гука

 

(l (T, f) – l (T, 0)) / l (T, 0) = f / (E σ), (45.3)

 

т. е. относительное удлинение стержня прямо пропорционально растягивающей силе и обратно пропорционально площади поперечного сечения σ (E – модуль упругости Юнга). Кроме того, в довольно широком интервале температур, далеких от точки плавления, имеет место формула линейного расширения

 

l (T, 0) = l (0, 0)(1 + α T), (45.4)

 

где α – коэффициент линейного температурного расширения стержня, зависящий только от материала стержня. Для большинства твердых тел величина α ~ 10^–5 К ^–1. В таблице приведены значения α некоторых материалов при комнатной температуре.

 

Материал	Дерево	Стекло	Железо	Медь	Алюминий
α, 10–5 К –1	0,6¸3		1,2	1,7	2,4

 

При относительно небольших изменениях температуры коэффициент α можно считать постоянным; при значительных ее изменениях это допущение уже несправедливо. В дальнейшем величины E и α считаются постоянными, пренебрегается также изменением σ при растяжении.

Формулы (45.3) и (45.4) можно объединить в одну

 

f = E σ(l / l ₀ / (1 + α T) – 1),

 

где l ₀ = l (0, 0). Поскольку α T << 1, то последняя формула упрощается

 

f = E σ(l / l ₀ × (1 – α T) – 1). (45.5)

 

f – E σ
Рис. 17

Это соотношение используется в качестве термического уравнения состояния стержня. На (f, l)-диаграмме (рис. 17) приведены изотермы такого стержня. Вне области упругих деформаций модуль Юнга зависит от деформации, несколько уменьшаясь по сравнению со своим значением в упругой области (верхние участки изотерм, нанесенные пунктиром).

 

Если ввести теплоемкость c_l = T (¶ S / ¶ T) _l и воспользоваться соотношением взаимности (¶ S / ¶ l) _T = – (¶ f / ¶ T) _l, то изменение энтропии стержня равно

 

dS = (¶ S / ¶ T) _ldT + (¶ S / ¶ l) _T dl = c_l dT / T + E σ l / l ₀ × α dl.

 

Можно показать, что теплоемкость c_l является функцией только температуры, т. е. c_l не зависит от длины стержня:

 

(¶ c_l / ¶ l) _T = T ¶² S / (¶ l ¶ T) = T ¶(¶ S / ¶ l) _T / ¶ T = – T (¶² f / ¶ T ²) _l = 0.

 

Тогда энтропия

 

S = + α E σ l ² / 2 l ₀ + const.

 

Для целого ряда тел при не слишком низких температурах c_l постоянна и составляет около 6 кал / (К × моль) – закон Дюлонга и Пти. Для постоянной теплоемкости

 

S = S ₁ + c_l ln (T / T ₁) + α E σ(l ² – l ₁²) / 2 l ₀,

 

где l ₁, T ₁, S ₁ – параметры некоторого произвольного состояния.

Можно вычислить внутреннюю энергию стержня:

 

dU = TdS + fdl = c_l dT + (E σ l / l ₀α T + f) dl = c_l dT + E σ(l / l ₀ – 1) dl,

 

откуда

 

U = + E σ(l ² / 2 l ₀ – l) + const.

 

Для постоянной c_l

 

U = U ₁ + c_l (T – T ₁) + E σ ((l ² – l ₁²) / 2 l ₀ – l + l ₁),

 

или

 

U = U ₁ + c_l (T – T ₁) + E σ ((l – l ₀)² – (l ₁ – l ₀)²) / 2 l ₀.

 

В отличие от идеального газа, энергия которого не зависит от объема, энергия стержня при рассматриваемой идеализации является квадратичной функцией деформации.

Можно вычислить различные термодинамические коэффициенты и получить полезные соотношения. В часности, аналогично формуле (42.4)

 

c_f – c_l = T (¶ f / ¶ T) _l ² / (¶ f / ¶ l) _T.

 

С учетом термического уранения состояния (45.5)

 

c_f – c_l = α² E σ T (l / l ₀)² l ₀ / (1 – α T)» α² E σ T l ₀,

 

т. е. c_f отличается от c_l на малую второго порядка по α T.

Для термического коэффициента (¶ T / ¶ f) _S получается

 

(¶ T / ¶ f) _S = ¶(T, S) / ¶(f, S) = – ¶(f, l) / ¶(f, S) =

 

= – ¶(f, l) / ¶(f, T) × ¶(f, T) / ¶(f, S) = – (¶ l / ¶ T) _f ×(¶ T / ¶ S) _f =

 

= – T / c_f × (¶ l / ¶ T) _f = – T / c_f × α l / (1 – α T)» – α l ₀ T / c_f. (45.6)

 

У большинства твердых тел коэффициент линейного расширения положительный (α > 0) и для них (¶ T / ¶ f) _S < 0: при увеличении нагрузки стержни охлаждаются. Результаты опытов Джоуля и Хага по адиабатическому растяжению проволок хорошо согласуются с теорией. Для резины и некоторых полимеров α < 0: при нагреве стержни из резины или соответствующего полимера, находящиеся под постоянной нагрузкой, сокращаются в размерах ((¶ l / ¶ T) _f < 0). Из формулы (45.6) следует, что резиновый жгут при нагружении нагревается ((¶ T / ¶ f) _S > 0).