Равновесное излучение

 

Замкнутая полость, стенки которой излучают и поглощают, заполняется электромагнитным излучением. Если температура стенок поддерживается постоянной, то это излучение оказывается в равновесии со стенками и имеет их температуру.

Электромагнитное излучение, находящееся в некоторой области пространства в равновесии с окружающими телами, называется тепловым, или равновесным.

Известно, что малое отверстие в стенке полости с хорошей точностью представляет абсолютно черное тело. Излучение, падающее на это отверстие извне, в результате многократного отражения от внутренней поверхности полости практически полностью поглощается. Коэффициент поглощения такого отверстия можно считать равным единице. Поэтому равновесное излучение в полости называют также абсолютно черным излучением.

Мысль о температуре равновесного излучения была впервые высказана русским физиком Б. Б. Голицыным в 1893 г. Это позволило в полной мере применить аппарат термодинамики для изучения равновесного излучения.

Излучение характеризуется спектральной частотой ν. Если u _ν – спектральная плотность излучения (энергия излучения единицы объема в единичном интервале частот), то полная (интегральная) плотность излучения равна

 

u = . (47.1)

 

Как было установлено (к этому прямое отношение имел Кирхгоф), спектральная плотность излучения не зависит от материала стенок и их размеров, она является универсальной функцией частоты и температуры. Вид этой функции был найден Планком.

Однако здесь важно лишь то, что полная плотность излучения (47.1) является функцией только температуры: u = u (T). Соответственно полная энергия излучения в полости равна

 

U = u (T) × V. (47.2)

 

Из электродинамики известно термическое уравнение состояния фотонного газа (так иногда называют равновесное излучение):

 

pV = U / 3.

 

Исключение U приводит уравнение состояния к виду

 

p = u (T) / 3. (47.3)

 

Этой информации достаточно, чтобы найти вид функции u (T) и полностью рассмотреть термодинамику равновесного излучения.

Для нахождения функции u (T) используется соотношение (26.1):

 

(¶ U / ¶ V) _T = T (¶ p / ¶ T) _V – p.

 

Подстановка в него давления и внутренней энергии фотонного газа приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка относительно u:

 

u = T (du / dT) / 3 – u / 3, или du / u = 4 dT / T.

 

После интегрирования

 

u = σ T ⁴, (47.4)

 

где σ – некоторая постоянная (называется постоянной Стефана–Больцмана).

Энергия фотонного газа в объеме V равна

 

U = σ T ⁴ V.

 

Из основного уравнения термодинамики

 

dS = dU / T + p / T × dV = (4σ T ³ V dT + σ T ⁴ dV) / T + σ T ³ / 3 · dV =

 

= 4σ T ² V dT + 4σ / 3 · T ³ dV = 4σ / 3(3 T ² VdT + T ³ dV) = 4σ / 3 · d(T ³ V),

 

так что для энтропии фотонного газа получается выражение

 

S = 4σ / 3 × T ³ V.

 

Постоянная интегрирования равна нулю (при V = 0 нет смысла говорить о фотонном газе). Потенциал Гиббса

 

G = U – TS + pV = σ T ⁴ V – 4σ/3· T ⁴ V + σ T ⁴ / 3 · V = 0.

 

Равенство нулю потенциала Гиббса связано с тем, что давление и температура в случае фотонного газа не могут быть одновременно независимыми переменными (в силу уравнения состояния (47.3)).

Теплоемкость c_V = (¶ U / ¶ T) _V = 4σ T ³ V, а теплоемкость c_p = ∞, так как при изобарическом изменении объема температура фотонного газа остается постоянной (соотношение Майера не применимо в данном случае).

 

VI. Процесс Джоуля–Томсона. Третье начало термодинамики