Базисы в пространствах .
Система векторов
Числа В пространстве В пространстве
Теорема 5. Если система векторов образуют базис в
Теорема 6. Любые Пример 3. (Образец решения задачи 3 из контрольной работы). Даны векторы
Решение. Составим определитель из векторов
Т.к.
с пока неизвестными коэффициентами
откуда:
Решая эту систему, например, методом Крамера (сделайте это самостоятельно), получим:
|
называется базисом пространства 
, если любой вектор 
может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы:
.
называют коэффициентами разложения вектора 
по базису 
примером базиса может служить система единичных ортов: 
. Данный базис принято называть естественным, т.к. коэффициентами разложения любого вектора 
.
естественный базис образует система векторов 
.
, то она линейно независима.
линейно независимых векторов пространства 
образуют в нем базис.
, 
, 
. Определить образуют ли векторы 
и 
базис в пространстве 
по этому базису.
, то система 
- линейно независима и по теореме 12 образует базис в пространстве 
может быть единственным образом представлен в виде:
Переходя от равенства векторов к равенству их соответствующих координат приходим к системе линейных уравнений:
,
.
, 
. Следовательно,
.n
