Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вычисление площади поверхности вращения




Пусть функция f(x) неотрицательна и непрерывна вместе со своей производной на отрезке [a,b].Тогда площадь поверхности, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ox, будет вычисляться по формуле:

. (9.14)

Пример 14.Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox: а) отрезка прямой ; б) одной арки синусоиды y=sin x ; в) одной арки циклоиды x=a(t–sint), y=a(1–cost) ; г) параболы y2=2px, 0£x£a; д) дуги окружности x2+y2=R2.

Решение. а) Вычислим площадь поверхности, полученной вращением отрезка прямой вокруг оси Ox (рис. 9.16). Найдем производную: . Подставляя в формулу (9.14) получим:

.

б) Согласно формуле (9.14), получим

(ед.кв.).

Замечание. При вычислении интеграла было использовано свойство 4 определенного интеграла (см. 9.2) и табличный интеграл (отметим, что этот интеграл можно было найти и методом интегрирования по частям).

в) В параметрической форме формулу (9.14) можно записать в следующем виде:

. (9.15)

Тогда площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды вокруг оси Ox, будет равна

.

г) Поскольку , , , то по формуле (9.14) получим

д) Пусть дуга окружности с центром в начале координат и радиусом R вращается вокруг оси Ox. Из уравнения окружности x2+y2=R2 имеем y2=R2–x2, y¢y= –x, значит

.

Таким образом, площадь сферы S=4pR2.

 







Дата добавления: 2015-09-04; просмотров: 289. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.005 сек.) русская версия | украинская версия