Вычисление площади поверхности вращения

Пусть функция f (x) неотрицательна и непрерывна вместе со своей производной на отрезке [ a,b ].Тогда площадь поверхности, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ox, будет вычисляться по формуле:

. (9.14)

Пример 14. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox: а) отрезка прямой ; б) одной арки синусоиды y =sin x; в) одной арки циклоиды x=a (t –sin t), y=a(1 –cos t); г) параболы y ²= 2px, 0 £ x £ a; д) дуги окружности x²+y²=R².

Решение. а) Вычислим площадь поверхности, полученной вращением отрезка прямой вокруг оси Ox (рис. 9.16). Найдем производную: . Подставляя в формулу (9.14) получим:

.

б) Согласно формуле (9.14), получим

(ед.кв.).

Замечание. При вычислении интеграла было использовано свойство 4 определенного интеграла (см. 9.2) и табличный интеграл (отметим, что этот интеграл можно было найти и методом интегрирования по частям).

в) В параметрической форме формулу (9.14) можно записать в следующем виде:

. (9.15)

Тогда площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды вокруг оси Ox, будет равна

.

г) Поскольку , , , то по формуле (9.14) получим

д) Пусть дуга окружности с центром в начале координат и радиусом R вращается вокруг оси Ox. Из уравнения окружности x²+y²=R² имеем y²=R²–x², y¢y= –x, значит

.

Таким образом, площадь сферы S=4pR².