Объем тела вращения

Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, является непрерывной функцией на отрезке , то объем тела вычисляется по формуле:

. (9.16)

Выражение для функции получается достаточно просто в случае тел вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой , вращается вокруг оси Ox или оси Oy, то объемы тел вращения вычисляются по формулам:

или . (9.17)

Если криволинейный сектор, ограниченный кривой и лучами , , вращается вокруг полярной оси, то объем тела вращения равен:

. (9.18)

Отметим, что объемы тел значительно проще вычисляются при помощи кратных интегралов.

Пример 15. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной а) линиями вокруг оси Oy; б) кардиоидой вокруг полярной оси.

Решение. а) Используя формулу (9.17),

найдем объем данного тела (рис. 9.17):

(ед. ³)

б) Используя формулу (9.18), найдем объем данного тела (рис. 9.18):

.

 

9.12. Физические приложения.
Вычисление работы с помощью определенного интеграла

 

Работа, совершаемая переменной силой F (x) при перемещении материальной точки вдоль оси Ox, равна

. (9.19)

Рассмотрим пример нахождения работы, которую необходимо затратить, чтобы выкачать жидкость плотности g из резервуара, имеющего вид тела вращения, получающегося при вращении криволинейной трапеции вокруг оси Oy.

Пусть криволинейная трапеция в плоскости переменных ограничена линиями x = f (y)> 0, y = 0, y=H, x = 0. Элемент объема тела вращения равен ,

элемент веса равен .

Умножая элемент веса на (H – y_i) – высоту, на которую нужно поднять соответствующий вес при выкачивании жидкости – получим элемент работы:

.

Тогда работа по выкачиванию жидкости равна определенному интегралу по отрезку [ 0;H ]:

. (9.20)

Пример 16. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать жидкость плотности g из резервуара, имеющего форму:

а) конуса вращения с вершиной, обращенной вниз и совпадающей с началом координат, высота которого H, а радиус основания R;

б) полусферы, обращенной выпуклостью вниз, радиус основания которой равен R;

в) цилиндра высоты H и радиуса основания R.

Решение. а) Данный конус получается в результате вращения прямой вокруг оси Oy (см. рис. 9.19). По формуле (9.20) находим

.

б) Данная полусфера получается в результате вращения нижней четверти окружности вокруг оси Oy (см. рис. 9.20). По формуле (9.20) находим

.

в) Данный цилиндр получается в результате вращения отрезка прямой , 0 £ y £ H вокруг оси Oy. Тогда

.

9. 13. Вычисление координат центра тяжести,
статических моментов и моментов инерции
плоской кривой

 

Пусть дуга кривой задана уравнением , и имеет плотность . Тогда статические моменты этой дуги относительно координатных осей Ox и Oy равны:

, (9.21)

. (9.22)

Моменты инерции дуги этой кривой относительно координатных осей Ox и Oy равны:

, (9.23)

. (9.24)

Координаты центра тяжести дуги этой кривой вычисляются по формулам:

, (9.25)

, (9.26)

где l – масса дуги, определяемая по формуле:

. (9.27)

Пример 17. Найти координаты центра тяжести дуги окружности (рис. 9.21), при условии .

Решение. Длина дуги равна . Найдем массу этой дуги: . Используя формулу 9.21, найдем статический момент:

.

Тогда . Учитывая симметричность дуги относительно биссектрисы координатного угла, получим . Центр тяжести имеет координаты .

 

 

9. 14. Вычисление координат центра тяжести,
статических моментов и моментов инерции
плоской фигуры

 

Пусть плоская фигура ограничена кривой и прямыми , и имеет плотность . Тогда статические моменты этой фигуры относительно координатных осей Ox и Oy равны:

, (9.28)

. (9.29)

Моменты инерции этой фигуры относительно координатных осей Ox и Oy равны:

, (9.30)

. (9.31)

Координаты центра тяжести плоской фигуры вычисляются по формулам:

, (9.32)

, (9.33)

где m – масса фигуры, определяемая по формуле:

. (9.34)

Пример 18. Найти координаты центра тяжести полукруга (рис. 9.22), при условии .

Решение. Площадь полукруга равна . Найдем массу этой фигуры:

.

Так как фигура симметрична относительно оси Oy, то . Используя формулу 9.28, найдем :

.

По формуле 9.33, получаем:

.

Центр тяжести имеет координаты .