Несобственные интегралы

Несобственными интегралами называются 1) интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы 1-го рода); 2) интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода).

Несобственный интеграл от функции в пределах от до определяется равенством

. (9.35)

Если этот предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяются:

и . (9.36)

Если функция имеет бесконечный разрыв в точке отрезка и непрерывна при и при , то несобственный интеграл 2-го рода определяется следующим равенством:

. (9.37)

Несобственный интеграл 2-го рода называется сходящимся, если оба предела в правой части существуют и конечны; если же хотя бы один из интегралов не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Пример 19. Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость): а) ; б) ; в) .

Решение. а) Согласно формуле (9.35) получим

,

т.е. предел не существует и несобственный интеграл расходится.

б) Используя четность подынтегральной функции и формулу (9.36), получим:

.

Следовательно, несобственный интеграл сходится и равен .

в) Используя формулу (9.37), получим:

.

Следовательно, несобственный интеграл расходится.

 

Задание 9.1. Вычислить определенные интегралы:

 

1. а)	б)	в) .
2. а)	б)	в) .
3. а)	б)	в) .
4. а)	б)	в) .
5. а)	б)	в) .
6. а)	б)	в) .
7. а)	б)	в) .
8. а)	б)	в) .
9. а)	б)	в) .
10. а)	б)	в) .
11. а)	б)	в) .
12. а)	б)	в) .
13. а)	б)	в) .
14. а)	б)	в) .
15. а)	б)	в) .
16. а)	б)	в) .
17. а)	б)	в) .
18. а)	б)	в) .
19. а)	б)	в) .
20. а)	б)	в) .
21. а)	б)	в) .
22. а)	б)	в) .
23. а)	б)	в) .
24. а)	б)	в) .
25. а)	б)	в)

 

Задание 9.2. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

 

1. x = a cos3 t, y = a sin3 t;	14. y 2 = x, y = x 2;
2. y = ln x, 2 £ x £ 5;	15. y = – x 2+ 2x+3, y = x 2– 4x+3;
3. r = a cos 3j, (a >0);	16. x = 6 (t –sin t), y = 6(1 –cos t) (y³9);
4. xy = 4, x=1, x=4, y=0;	17. y = arсcos x, x = 0, y = 0;
5. xy = 4, x+y–5=0;	18. ;
6. r = cos 2j;	19. y 2 = 2x, y 2 = – x 2+ 4x;
7. y 2 = 16–8x, y2 = 24x+48;	20. ;
8. r = sin 3j;	21. ;
9. y = x 2– 3x, 3x+y–4=0, x=0;	22. ;
10. r = 6cos 3j, r = 3 (r³3);	23. ;
11. x = tg 3x, y = 0, x = p/12;	24. ;
12. r = 2 cos 6j;	25. .
13. ;

Задание 9.3. Найти длину кривой:

1. ;	14. ;
2. x = 5 (t– sin t), y = 5(1 –cos t) при 0 £ x £ p;	15. ;
3. 9y2 = x(3–x)2, между точками пересечения кривой с осью Ox;	16. ;
4. , , 0 £ t £ p, (R > 0);	17. ;
5. ;	18. ;
6. ;	19. ;
7. , между точками пересечения линии с осями координат;	20. ;
8. , между точками пересечения линии с осями координат;	21. ;
9. ;	22.
10. ;	23. ;
11. ;	24. ;
12. ;	25.
13. ;

 

Задание 9.4. Определить объем тела, образованного вращением вокруг указанной оси плоской фигуры, ограниченной заданными линиями:

 

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. .

 

Задание 9.5. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением линии:

 

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. , между точками пересечения линии с осями координат;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. .

Задание 9.6. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать жидкость удельного веса g из резервуара, имеющего форму

а) конуса вращения, обращенного вершиной вниз, высота которого H, а радиус основания R:

1. H = 6 м, R = 4 м;	6. H = 3 м, R = 7 м;
2. H = 2 м, R = 3 м;	7. H = 3 м, R = 4 м;
3. H = 8 м, R = 3 м;	8. H = 4 м, R = 5 м;
4. H = 2 м, R = 5 м;	9. H = 5 м, R = 6 м.
5. H = 6 м, R = 5 м;

 

б) полусферы, обращенной выпуклостью вниз, радиус основания которой равен R:

10. R = 10 м;	14. R = 15 м;
11. R = 20 м;	15. R = 6 м;
12. R = 30 м;	16. R = 7 м.
13. R = 4 м;	17. R = 8 м.

 

в) форму цилиндра высоты H и радиуса основания R:

18. H = 5 м, R = 2 м;	22. H = 3 м, R = 2 м;
19. H = 4 м, R = 3 м;	23. H = 3 м, R = 5 м;
20. H = 5 м, R = 3 м;	24. H = 7 м, R = 2 м;
21. H = 6 м, R = 3 м;	25. H = 2 м, R = 4 м;

 

Задание 9.7. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1. а) , б) ;	14. а) , б) ;
2. а) , б) ;	15. а) , б) ;
3. а) , б) ;	16. а) , б) ;
4. а) , б) ;	17. а) , б) ;
5. а) , б) ;	18. а) , б) ;
6. а) , б) ;	19. а) , б) ;
7. а) , б) ;	20. а) , б) ;
8. а) , б) ;	21. а) , б) ;
9. а) , б) ;	22. а) , б) ;
10. а) , б) ;	23. а) , б) ;
11. а) , б) ;	24. а) , б) ;
12. а) , б) ;	25. а) , б) .
13. а) , б) ;