Вычисление площадей плоских фигур

Рис. 9.1.

Напомним геометрический смысл определенного интеграла

.

Если f(x)³0, то определенный интеграл есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), прямыми x=a и x=b, а также осью Ox. Если же функция f(x)£ 0, то определенный интеграл будет меньше нуля. Знак минус означает, что криволинейная трапеция расположена ниже оси Ox и ее площадь будет равна S = . Может оказаться, что функция f(x) на отрезке интегрирования несколько раз меняет знак. В этом случае интеграл нужно разбить на сумму интегралов по участкам, на которых подынтегральная функция имеет постоянный знак. Например, площадь фигуры на рис. 9.1 будет иметь вид

S = .

Пример 4. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:

а) y= sin x, y=0, 0£x£2p; б) y=x–x², y=0, 0£x£2.

Рис. 9.2

Решение. а) Сделаем чертеж (см.
рис. 9.2). Так как при 0£x£p sin x ³ 0 и при p£x£2p sin x£0, то

(кв. ед.)

 

Рис. 9.3

 

б) Сделаем чертеж (см. рис. 9.3). Найдем точки пересечения параболы с осью Ox:

Из рисунка видно, что

(кв. ед.)

 

Рис. 9.4

Пусть плоская фигура на отрезке [ a,b ] ограничена графиками двух функций y = f ₁(x) и y = f ₂(x), причем f ₂(x)³ f ₁(x) (см. рис. 9.4). Тогда искомая площадь вычисляется по формуле:

. (9.7)

Рис. 9.5

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x–x ², y =– x.

Решение. Сделаем чертеж (см. рис. 9.5). Найдем точки пересечения параболы и прямой:

Поскольку на отрезке [ 0;2 ] x – x ² ³ – x, то площадь заданной фигуры будет равна

.

Пример 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y =– x ², y=x–2, y=0.

Рис. 9.6

Решение. Из чертежа (см. рис. 9.6) видно, что искомую площадь S фигуры OAB можно рассматривать как площадь над кривой OAB на отрезке [ 0;2 ]. Однако указанная кривая (ломаная) не задается одним уравнением. Поэтому для нахождения искомой площади разобьем фигуру OAB на две части: OAC и ACB. Найдем абсциссу точки A:

 

Таким образом, точка A имеет координаты (1;–1). После этого находим площадь заданной фигуры:

(кв.ед.).

Рис. 9.7

Заметим, что криволинейная трапеция может образовываться графиком функции также и с осью Oy (см. рис. 9.7). Тогда площадь такой криволинейной трапеции можно записать в виде

. (9.8)

Такой случай следует иметь ввиду, поскольку это может сильно сократить вычисления.

 

В частности, последний пример можно решить относительно оси Oy (переменной y). В этом случае фигура OAB будет ограничена снизу кривой , а сверху – прямой x ₂= y + 2. В результате, площадь фигуры будет вычисляться следующим образом:

(кв.ед.)

Рис. 9.8

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами:

y ²= 2x и y ² =6 – x (см. рис. 9.8).

Решение. Будем искать площадь данной фигуры относительно оси Oy. Ординаты точек пересечения линий равны y ₁ =–2 и y ₂= 2. Следовательно,

(кв. ед.)