Студопедия — Вычисление площадей плоских фигур
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вычисление площадей плоских фигур






Рис. 9.1.

Напомним геометрический смысл определенного интеграла

.

Если f(x)³0, то определенный интеграл есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), прямыми x=a и x=b, а также осью Ox. Если же функция f(x)£ 0, то определенный интеграл будет меньше нуля. Знак минус означает, что криволинейная трапеция расположена ниже оси Ox и ее площадь будет равна S = . Может оказаться, что функция f(x) на отрезке интегрирования несколько раз меняет знак. В этом случае интеграл нужно разбить на сумму интегралов по участкам, на которых подынтегральная функция имеет постоянный знак. Например, площадь фигуры на рис. 9.1 будет иметь вид

S = .

Пример 4. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:

а) y= sin x, y=0, 0£x£2p; б) y=x–x2, y=0, 0£x£2.

Рис. 9.2

Решение. а) Сделаем чертеж (см.
рис. 9.2). Так как при 0£x£p sin x ³ 0 и при p£x£2p sin x£0, то

(кв. ед.)

 

Рис. 9.3

 

б) Сделаем чертеж (см. рис. 9.3). Найдем точки пересечения параболы с осью Ox:

Из рисунка видно, что

(кв. ед.)

 

Рис. 9.4

Пусть плоская фигура на отрезке [ a,b ] ограничена графиками двух функций y = f 1(x) и y = f 2(x), причем f 2(xf 1(x) (см. рис. 9.4). Тогда искомая площадь вычисляется по формуле:

. (9.7)

Рис. 9.5

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x–x 2, y =– x.

Решение. Сделаем чертеж (см. рис. 9.5). Найдем точки пересечения параболы и прямой:

Поскольку на отрезке [ 0;2 ] xx 2 ³ – x, то площадь заданной фигуры будет равна

.

Пример 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y =– x 2, y=x–2, y=0.

Рис. 9.6

Решение. Из чертежа (см. рис. 9.6) видно, что искомую площадь S фигуры OAB можно рассматривать как площадь над кривой OAB на отрезке [ 0;2 ]. Однако указанная кривая (ломаная) не задается одним уравнением. Поэтому для нахождения искомой площади разобьем фигуру OAB на две части: OAC и ACB. Найдем абсциссу точки A:

 

Таким образом, точка A имеет координаты (1;–1). После этого находим площадь заданной фигуры:

(кв.ед.).

Рис. 9.7

Заметим, что криволинейная трапеция может образовываться графиком функции также и с осью Oy (см. рис. 9.7). Тогда площадь такой криволинейной трапеции можно записать в виде

. (9.8)

Такой случай следует иметь ввиду, поскольку это может сильно сократить вычисления.

 

В частности, последний пример можно решить относительно оси Oy (переменной y). В этом случае фигура OAB будет ограничена снизу кривой , а сверху – прямой x 2= y + 2. В результате, площадь фигуры будет вычисляться следующим образом:

(кв.ед.)

Рис. 9.8

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами:

y 2= 2x и y 2 =6x (см. рис. 9.8).

Решение. Будем искать площадь данной фигуры относительно оси Oy. Ординаты точек пересечения линий равны y 1 =–2 и y 2= 2. Следовательно,

(кв. ед.)







Дата добавления: 2015-09-04; просмотров: 1092. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Огоньки» в основной период В основной период смены могут проводиться три вида «огоньков»: «огонек-анализ», тематический «огонек» и «конфликтный» огонек...

Упражнение Джеффа. Это список вопросов или утверждений, отвечая на которые участник может раскрыть свой внутренний мир перед другими участниками и узнать о других участниках больше...

Влияние первой русской революции 1905-1907 гг. на Казахстан. Революция в России (1905-1907 гг.), дала первый толчок политическому пробуждению трудящихся Казахстана, развитию национально-освободительного рабочего движения против гнета. В Казахстане, находившемся далеко от политических центров Российской империи...

Внешняя политика России 1894- 1917 гг. Внешнюю политику Николая II и первый период его царствования определяли, по меньшей мере три важных фактора...

Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления....

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия