Решение сеточных уравнений

Разностные уравнения, полученные из неявной схемы, являются, как было показано, линейными алгебраическими уравнениями. На фиксированном временном слое для всех внутренних узловых точек эти уравнения образуют систему

, (6.44)

которую можно записать в векторно-матричном виде

(6.45)

или

, (6.46)

где − матрица коэффициентов; − вектор-столбец неизвестных значений искомого параметра Т в узловых точках; − неизвестный вектор столбец, характеризующий краевые условия и распределение параметра Т на предыдущем временном слое.

Матрица обладает рядом специальных свойств, которые необходимо использовать при решении системы уравнений. Она имеет высокий порядок, зависящий от густоты сетки, которая может достигать для современных компьютеров нескольких десятков тысяч. Матрица является редко заполненной с размещением ненулевых элементов по диагонали в три ряда. Такие матрицы называются ленточными трехдиагональными. Важным свойством является симметрия матрицы относительно ее диагонали, вытекающая из равенства коэффициентов А и С. Указанные свойства матрицы позволяют занимать незначительное место для ее хранения в запоминающем устройстве компьютера, Поэтому матрицу называют порождающейся в отличие от хранящейся матрицы.

Одним из эффективных способов решения системы (6.44) является метод прогонки – модификация метода исключения Гаусса, учитывающая свойства матрицы H. В соответствии с методом прогонки решение системы (6.44) в узловой точке ищется в виде линейной функции. В частности, для (i−;1)-ой точки эта функция имеет вид

, (6.47)

где − неизвестные пока вспомогательные коэффициенты. Подставим (6.47) в (6.44):

, (6.48)

откуда находим

. (6.49)

Полученное соотношение имеет ту же форму, что и функция (6.47), только для i -й точки

, (6.50)

откуда заключаем, что

(6.51)

Полученные коэффициенты называются прогоночными коэффициентами, а формулы (6.50 – 6.51) дают процедуру решения методом прогонки.

Сначала при i =2, 3,..., N считаются прогоночные коэффициенты (6.51), при этом начальные значения прогоночных коэффициентов определяются из граничных условий на левой границе. Эта операция называется прямой прогонкой. После определения всех в обратном направлении (i = N, N−;1,..., 2) с учетом значения параметра , найденного из граничного условия на правой границе, по формуле (6.50) последовательно находятся неизвестные значения в узловых точках сетки.

Определение начальных значений прогоночных коэффициентов рассмотрим на примере граничных условий 1-го вида (изотермические границы). Пусть на левой и правой границах плоского слоя заданы следующие значения температур: Т_{i =1}= T _г1, Т_{i = N +1}= T _г2 . Тогда в соответствии с формулой (6.50) для левой границы

, (6.52)

получаем начальные значения прогоночных коэффициентов

. (6.53)

Таким образом, алгоритм метода прогонки имеет следующий вид:

 

;

, ; (6.54)

; , .

 

Пример 6.2. В качестве теста для проверки алгоритма рассмотрим стационарную теплопроводность плоской стенки при граничных условиях первого рода. Решение задачи методом сеток дает систему уравнений с граничными условиями

. (6.55)

При числе разбиений N =4, граничных условиях T _г1=100, T _г2=200 система имеет следующее решение: T ₂=125, T ₃=150, T ₄=175. Запишем эту систему в векторно-матричной форме

 

алгоритм прогонки (6.54) реализуется для этой системы при A = C = 1, B = -2 следующим образом:

; ;

; ;

; ;

; ;

; ; ; ; .

Основным недостатком метода прогонки являются ошибки округления при вычислении прогоночных коэффициентов. Эти ошибки возрастают с увеличением порядка системы. Для уменьшения этих ошибок рекомендуется считать эти коэффициенты с двойной точностью.