Функция и плотность распределения случайной величины

Опыт – это осуществление какого-нибудь комплекса условий, который может быть воспроизведен много раз.

Под событием понимается результат опыта или наблюдения. События могут быть элементарными (неразложимыми) и составными (разложимыми).

Элементарное событие происходит в результате единичного опыта. Составное событие – это совокупность элементарных событий.

Пример 7.1. Игральный кубик подбрасывается 2 раза. Пусть составное событие определено следующим образом: «сумма выпавших цифр равна 6». Тогда элементарными будут события «5+1», «4+2», «3+3», «2+4» и «1+5». Любые другие сочетания не относятся к рассматриваемому составному событию.

Генеральной совокупностью называют совокупность событий, которые могут быть реализованы в результате бесконечного числа однотипных опытов. Выборочной совокупностью или выборкой называют совокупность случайно отобранных событий из генеральной совокупности.

Объемом совокупности называют число событий N этой совокупности.

Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате опыта может принимать различные значения. Случайные величины обычно обозначают большими буквами, например Х. Значения случайной величины, которые она принимает в результате опыта, обозначают малыми буквами При массовых испытаниях каждое из возможных значений случайной величины может встретиться m ₁, m ₂, …, m_n раз. Эти числа называют частотами. Весь набор значений случайной величины образует генеральную совокупность N _x. Отсеянные из генеральной совокупности N _x значения грубых ошибок образуют выборку объемом N. Если всего было проведено N _x опытов, то в результате выборки получаем , и отношение m_i /N называют частостью или относительной частотой.

Вероятностью некоторого события – это мера его «благоприятствия». События называются равновозможными, если мера их «благоприятствия» одинакова. В этом случае частость W события A: W (A) определяется формулой

W (A) =n /N. (7.1)

Вероятность р(А) произвольного события А изменяется от 0 до 1. При этом нулевая вероятность соответствует невозможному событию (которое никогда произойти не может), а единичная – достоверному событию (которое обязательно произойдет). При больших выборках вероятность события равна его частости

р(А)≈W (A).(7.2)

Для независимых событий вероятность произведения равна произведению их вероятностей (теорема умножения)

(7.3)

Пример 7.2. Надежность автомобиля зависит от многих факторов: надежности двигателя, электрической системы, качества бензина и других.

Пусть вероятность работоспособного состояния автомобиля «по вине» двигателя р ₁=0,99; по «вине» электрической системы р ₂=0,98; по качеству бензина р ₃=0,97. Необходимо оценить надежность автомобиля в целом, т.е. определить вероятность его работоспособного состояния р_а.

Решение. По формуле (3.3) р_а = р ₁ × р ₂ × р ₃=0,99 × 0,98 × 0,97 = 0,94.

Для несовместных событий (они не могут наступить одновременно) справедлива теорема сложения вероятностей

. (7.4)

Из этой теоремы вытекают два следствия:

1. Для полной группы несовместных событий сумма их вероятностей равна единице:

. (7.5)

2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице

. (7.6)

Пример 7.3. Видеокамера зафиксировала, что 75% водителей не нарушают скоростной режим (р (А)=0,75). Здесь событие А состоит в выборе автомобилей, не нарушающих установленный скоростной режим. Противоположное ему событие, отражающее долю нарушителей скоростного режима, будет . По формуле (7.6) находим , т.е. 25% автомобилей двигались с превышением установленной скорости.

Законом распределения случайной величины называют любое правило (таблицу, функцию), позволяющее находить вероятности всевозможных событий.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.

Дискретными случайными величинами называют такие, которые могут принимать конечное и счетное множество возможных значений.

Непрерывными случайными величинами называют такие, которые в некотором интервале могут принимать любое значение.

Число автомобилей транспортного потока в различных выборках из генеральной совокупности есть дискретная случайная величина, а расстояния между ними – непрерывная случайная величина.

x

F (x)

x 1

x 2

F (x 1)

F (x 2)

Рис. 7.3. Интегральная функция распределения

Всякую непрерывную случайную величину можно задать в виде дискретной, если все возможные ее значения разбить на интервалы и задать вероятности появления этих интервалов (из-за ограниченности измерительных средств все замеры непрерывных величин задаются в дискретном виде). Случайные величины характеризуются функциями распределения вероятностей.

Распределение случайной величины X, называется интегральной функцией распределения F (x_i) (см. рис. 7.3). Она определяет вероят­ность того, что случайная величина примет значения, не превосходящие х_i, т.е. попадет в интервал

F (x_i) = р (X<x_i).

Задание F (x_i) и определяет закон распределения случайной величины Х. В большинстве практически важных случаев распределение случайных величин может быть задано в другой форме с помощью введения функции плотности вероятностейf (x) (дифференциальной функции распределения).

Характерной особенностью случайной величины является то, что заранее неизвестно, какое из значений она примет. Возможность принятия случайной величиной Х значения из интервала (х ₁, х ₂) количественно оценивается вероятностью

р (x ₁ <X x ₂) = f (x)d x, (7.7)

где р (x ₁ <X £ x ₂) – вероятность указанного события (x ₁< X £ x ₂); f (х) - плотность распределения случайной величины; x ₂= x ₁+d х.

Плотность вероятности является важнейшей характеристикой, задающей распределение случайной величины, Плотность удовлетворяет двум условиям: она неотрицательна и интеграл от нее в полных пределах изменения аргумента х равен единице:

. (7.8)

Функция распределения F (х) выражается через плотность f (х):

. (7.9)

С другой стороны, если плотность f (х) непрерывна в точке х, то ее значение в этой точке равно производной от функции F (х):

. (7.10)

Функция распределения F (x)является первообразной для плотности f (x), поэтому

(7.11)

f (x) называют также дифференциальной функцией распределения.

Свойства функции распре­деления: она неотрицательна, возрастающая и равна 0 и 1 при значении аргумента –¥ и ¥:

F (х)³0; F (х ₁) < F (х ₂)при x ₁ < х ₂; F (– ) = 0; F () = 1.

Рис. 7.4. Плотность распределения случайной величины

x 0

x 1

x 2

x

f (x)

F (x 0)

p (x 1 <;x <x 2)

График плотности распре­деления f (x)называется кривой распределения случайной величины (рис. 7.4). Исходя из геометрической интер­претации интеграла как площади соот­вет­ствующей криволинейной тра­пеции заключаем, что для произвольного < х ₀ <+ чис­ло F (x ₀)равно площади под кривой распределения, лежащей левее прямой X=х ₀. Аналогично интер­претируется вероятность р (x ₁ <; x x ₂).

Случайная величина x, для которой существует плотность распределения f (x), называется непрерывной.

Если под случайной величиной x понимать скорость движения автомобиля, то произведение f (х)d х есть вероятность его движения со скоростью в интервале (х ₁, х ₂).Значение функции распре­деления F (х) равно вероятности движения автомобиля со скоростью от 0 до х.

В теории надежности часто употребляют такое понятие, как вероятность безотказной работы р (х), которое является дополнительным понятием к функции распределения F (x), здесь переменная x характеризует уже время эксплуатации автомобиля.

Значение вероятности безотказной работы в точке х равно вероятности того, что случайная величина X превыситх, т. е. автомобиль будет работать безотказно в течение времени x:

р (х) = 1– F (х)= р { X>; х }.

x

р (x), F (x)

1,0

0,5

р (x)

F (x)

Рис. 7.5. Графики функции распределения F (x) и функции надежности р (x)

Функция р (х) называется также функцией надежности. Примерные графики функции распределения F (х)и функции надежности р (х)изображены на рис. 7.5.