Меры положения и рассеяния кривой распределения

Кривая распределения плотностей вероятностей случайной величины характеризуется своим положением на оси абсцисс и рассеиванием случайной величины. Для оценки положения и рассеяния кривой распределения вводятся соответствующие критерии или меры.

К мерам положения относятся: мода, математическое ожидание и медиана случайной величины.

К мерам рассеяния относятся: дисперсия, стандартное отклонение и размах.

Модой распределения (Mо) называется наиболее вероятное значение случайной величины X. Плотность вероятности f (x)принимает максимальное значение в окрестности моды. Функция распределения плотности вероятностей может иметь одно или несколько максимальных значений в разных местах области (рис. 7.6).

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений:

x

f (x)

Mо

Mо

x

f (x)

Mо

а

б

x

f (x)

в

Рис. 7.6. Кривые распределения случайной величины X: а – одномодальная; б – двухмодальная; в – антимодальная

(7.12)

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей плотность распределения f (х), вычисляется по формуле

. (7.13)

Статистической оценкой математического ожидания является среднее арифметическое значение случайной величины

,(7.14)

где N – количество значений x_i; m_i – частота появления результата x_i.

Математическое ожидание (среднее арифметическое значение) случайной величины называют часто центром рассеяния или центром группирования случайной величины. Математическое ожидание является оценкой истинного значения измеряемой величины.

Пример 7.4. Найти математическое ожидание и моду случайной величины, заданной таблицей значений

x
p	0,1	0,6	0,3

Решение.

Медианой случайной величины (Ме) называется такое ее значение х, для которого

f (x)

x

Ме

Рис. 7.7. Геометрическая медиана

р (х < Ме) ≈ р (х > Ме), (7.15)

т. е. вероятность появления случайной величины меньшей, чем медиана, или большей, чем медиана, одинакова.

Геометрическая медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распреде­ле­ния, делится пополам (рис. 7.7):

Мерой рассеяния случайной величины Х около ее среднего значения служит стандартное (или среднее квадратичное) отклонение s:

(7.16)

Для непрерывной случайной величины s определяется по формуле

(7.17)

Другая мера рассеяния – дисперсия (дисперсия и означает рассеивание) характеризует разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия увеличивается с увеличением рассеяния результатов наблюдения. Дисперсия определяется по формуле

(7.18)

где х_i - дискретная случайная величина, и по формуле

(7.19)

где х_i – непрерывная случайная величина.

Свойства дисперсии:

· Д _х ≥ 0;

· Д _х ∙ С = 0 для С = const (дисперсия неслучайной величины равна нулю);

· Д(СХ) = С ²∙Д _х – неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возведя ее в квадрат;

· Д _х = М _x (X ²) – (М _х)² – дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания;

· Д(Х + Y) = Д _х + Д _y,если Х и Y – независимые случайные величины.

Последнее свойство рассмотрим более подробно на примере двух случайных величин X и Y. По определению

.

После раскрытия квадратных скобок и объединения каждой случайной величины со своим математическим ожиданием получим

,

откуда

,

где – ковариация. Она характеризует связь между случайными величинами X и Y. Для независимых случайных величин ковариация равна нулю. Ковариация является неудобной характеристикой, так как по ее величине трудно судить о степени (тесноте) связи. Поэтому была введена другая величина – коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле

. (7.20)

Коэффициент корреляции меняется в пределах от –1 до +1 и является характеристикой тесноты линейной связи между двумя случайными величинами. Если xи y независимы, то . Если абсолютное значение ρ(ХY) окажется больше 1, то совершенно ясно, что произошла ошибка и необходимо пересчитать результат. В случае сильной положительной корреляции достигается значение, близкое к +1, а при сильной отрицательной корреляции достигается значение, близкое к –1. Таким образом, когда |ρ(ХY)| близок к 1, это указывает на сильную корреляцию между X и Y, а когда |ρ(ХY)| близок к 0 – на слабую корреляцию.

Размах случайной величины R определяется как разность между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины:

(7.21)