Линейные операции над векторами.

Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Определение. Пусть и два свободных вектора (рис. 26, а). Возьмем произвольную точку О и построим вектор = , затем от точки А отложим вектор = , Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается (рис. 26, б). Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом.

Отложим от точки О векторы = и . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм О ABC Вектор , служащий диагональю этого параллелограмма, проведенной из вершины О, является, очевидно, суммой векторов (рис. 26, в). Из рис. 26, в непосредственно следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством:

.

Действительно, каждый из векторов и равен одному и тому же вектору .

Понятие суммы векторов, введенное для двух слагаемых векторов, можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.

Пусть, например, даны три вектора , и (рис. 27, а). Построив сначала сумму векторов , а затем прибавив к этой сумме вектор получим вектор . На рис. 27, б) = , , , и .

Из рис. 27, б видно, что тот же вектор мы получим, если к вектору = прибавим вектор . Таким образом,

Рис.27

( + ) + = + ( + ),

т.е. сумма векторов обладает сочетательным свойством. Поэтому сумму трех векторов , , записывают просто .

Итак, сумму трех векторов можно получить следующим образом. Из произвольной точки О откладывается вектор, равный первому слагаемому вектору. К концу первого вектора присоединяется начало второго; к концу второго - начало третьего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, является суммой данных векторов. Подобным же образом строится сумма любого конечного числа векторов.

Если при сложении нескольких векторов конец последнего слагаемого вектора совпадает с началом первого, то сумма векторов равна нулевому вектору. Очевидно, что для любого вектора имеет место равенство .

Определение. Разностью и называется третий вектор , сумма которого с вычитаемым вектором дает вектор . Таким образом, если , .

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис. 28). Откладываем векторы

= и = из общей точки О. Вектор , соединяющий

концы уменьшаемого вектора и вычитаемого вектора и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, является разностью . Действительно, по правилу сложения векторов

, или .

Определение. Произведением (или ) на , называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную и то же направление, что и вектор , если > 0, и направление, противоположное направление < 0. Так, например, 2 есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор , а длину, вдвое большую, чем вектор . В случае, когда = 0 или , произведение представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на

Так, западный ветер можно представить как отрицательный восточный ветер. Очевидно, что .

Пусть дан вектор . Рассмотрим единичный вектор , коллинеарный вектору и одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует, что

,

т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует = , где ненулевой вектор, то векторы и коллинеарны.

Очевидно, что и, обратно, из коллинеарности векторов и следует, что .

Таким образом, два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство

= .

Легко убедиться, что умножение вектора на число обладает

и сочетательным свойством

.

Справедливость, например, равенства (1) при следует из того, что при изменении сторон параллелограмма в раз в силу свойств подобия его диагональ также изменяется в