Понятие вектора и линейные операции над векторами.

1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений. Такие величины называются скалярными или, короче, скалярами. Скалярными величинами, например, являются длина, площадь, объем, масса, температура тела и др. Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать также их направление. Такие величины называются векторными. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила. Векторные величины используются, например, и в климатологии. Рассмотрим простой пример из климатологии. Если мы скажем, что ветер дует со скоростью 10 м/с, то тем самым введем скалярную величину скорости ветра, но если мы скажем, что дует северный ветер со скоростью 10 м/с, то в этом случае скорость ветра будет уже векторной величиной.

Векторные величины изображаются с помощью векторов.

Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т.е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая - за конец. Если А - начало вектора и В - его конец, то вектор обозначается символом . Вектор можно обозначать и одной малой латинской буквой с чертой над ней (например, ). Изображается вектор отрезком со стрелкой на конце (рис. 24). Начало вектора называют точкой его приложения. Если точка А является началом вектора , то мы будем говорить, что вектор приложен в точке А.

Длина вектора называется его модулем и обозначается символом . Модуль вектора обозначается . Вектор , для которого , называется единичным

Вектор называется нулевым (обозначается ), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

Рис.24

Рис.25

Векторы и , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

В этом случае пишут: = . Все нулевые векторы считаются равными. Из определения равенства векторов следует, что вектор можно параллельно переносить, помещая его начало в любую точку пространства (в частности, плоскости). Такой вектор называется свободным.

Пример. Рассмотрим квадрат (рис. 25). На основании определения равенства векторов можем написать и , но , хотя .

Два коллинеарных вектора (отличные от нулевых векторов), имеющие равные модули, но противоположно направленные, называются противоположными.

Вектор, противоположный вектору , обозначается . Для вектора противоположным будет вектор .