Понятие линейной зависимости векторов.

Векторы называются линейно зависимыми если существуют не все равные нулю, для которых имеет место

Векторы называются линейно независимыми если равенство (2) имеет место только при .

Из равенства (2), предполагая, например, что , получаем

Полагая

Выражение называется линейной комбинацией векторов

Таким образом, если несколько векторов линейно зависимы, то хотя бы один из них всегда можно представить в виде линейной комбинации остальных.

Справедливо и обратное утверждение, если один из векторов представлен в виде линейной комбинации остальных векторов, то все эти векторы линейно зависимы.

 

4. Линейная зависимость векторов на плоскости.

Теорема1. Всякие три вектора , и на плоскости линейно зависимы.

Доказательство

Достаточно убедиться в том, что один из векторов является линейной комбинацией остальных. Возможны два случая.

1. Среди данных векторов имеется пара и . Тогда (см. п. 2)

т.е. вектор есть линейная комбинация векторов и .

2.Среди данных векторов нет ни одной пары коллинеарных. Допустим, что все три вектора имеют общее начало О (рис.30). Покажем, что вектор можно представить в виде суммы двух векторов, один из которых коллинеарен вектору , а другой - вектору .

Для этого через конец М вектора проведем прямые, параллельные векторам и , до их пересечения в точках В и С c прямыми, на которых соответственно расположены векторы и . Имеем очевидное равенство

Так как векторы и коллинеарны соответственно векторам и , то и .

Поэтому , т.е. является линейной комбинацией векторов и .

Следствие. Если число данных векторов на плоскости больше трех, то они также линейно зависимы.

В самом деле, пусть даны n векторов (n > 3). Так как три вектора на плоскости всегда линейно зависимы, то для векторов имеем . В таком случае для всех n векторов можно написать

т.е. вектор есть линейная комбинация остальных векторов.

Что касается двух векторов и , то, как известно (см. п. 2), они коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство , т.е. когда векторы и линейно зависимы. Отсюда непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 2. Для того чтобы два вектора и на плоскости были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они бы

Из теорем 1 и 2 следует, что максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.