Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначается символом или ( , ). Если угол между векторами и равен , то

= | | | | соs

Через обозначим проекцию вектора на ось с направлением вектора . Так как | | соs = и | | соs = (см. § 2.1, п. 7), можно записать

=| |; = | | ,

т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось с направлением

Раскроем физический смысл скалярного произведения. Если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа А указанной силы определяется равенством

A=| | | | cos ,

т.е. равна скалярному произведению векторов и .

Скалярное произведение обладает следующими основными свойствами

1) = (переместительное свойство);

2) = = | |²(3)

( ² называется скалярным квадратом вектора);

3)( + ) = + (распределительное свойство);(4)

4) ( ) = ( )(сочетательное свойство относительно числового множителя).

Докажем, например, свойство 3. На основании формулы (2) и свойства проекций (см. § 2.1, (5)) имеем

( + ) =| | ( + )=| |( + = | +| | = + = + ,

т.е. получаем равенство (4).

Примечание. Из свойств 1, 3, 4 скалярного умножения и свойств линейных операций над векторами (см. § 2.1, п. 2) следует, что векторы можно перемножать скалярно как многочлены.

Из равенства (1) следует, что косинус угла между двумя ненулевыми векторами и равен

Из формулы (5) получаем, что два вектора и ) перпендикулярны (ортогональны), = тогда и только тогда, когда

= 0. (6)

Это утверждение справедливо также и в том случае, когда хотя бы один из векторов или нулевой (нулевой вектор имеет неопределенное направление и его можно считать ортогональным любому вектору).