Собственные вектора и собственные значения

Определение 2. Ненулевой вектор из одномерного подпространства, инвариантного относительно , называется собственным вектором ²⁾ оператора . Таким образом, собственный вектор оператора удовлетворяет условию . При этом скаляр называется собственным значением ³⁾ оператора .

Пример 1. Пусть — двумерное векторное пространство над полем действительных чисел , и — линейный оператор на , имеющий в некотором базисе матрицу . Тогда вектор является собственным вектором оператора с собственным значением , а вектор — собственным вектором с собственным значением . В этом можно удостовериться, решив уравнения,

и .

Определение 3. Подпространство⁴⁾ называется собственным подпространством ⁵⁾ оператора . Размерность называется геометрической кратностью ⁶⁾ собственного значения .

Определение 4. Множество всех собственных значений линейного оператора называется спектром ⁷⁾ этого оператора и обозначается символом . Точка спектра называется простой ⁸⁾, если ей соответствует геометрическая кратность 1. Спектр называется простым ⁹⁾, если каждая точка спектра проста.

Предложение 1. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы. Сумма является прямой.

Пример 2. Опишем спектр линейного оператора на векторном пространстве из примера 1. Так как на двумерном векторном пространстве любой линейный оператор имеет не более двух собственных значений¹⁰⁾, то из примера 1 видно, что и образуют простой спектр этого оператора.