Определения квадратичной формы, матрицы квадратичной формы, канонического вида квадратичной формы.

Квадратичной формой от n неизвестных называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Обозначая коэффициент при через , а при произведении – через , квадратичную форму Q можно представить в виде

.

Симметричная матрица называется матрицей квадратичной формы Q.

Пример. Написать матрицу квадратичной формы

.

Здесь

Следовательно,

В векторно-матричной форме квадратичная форма имеет вид

A , где

Если в квадратичной форме А неизвестные подвергнуть линейному преобразованию , где ,

получится квадратичная форма с матрицей .

Канонический вид квадратичной формы
Квадратичная форма называется канонической, если все т. е.

Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы.

1. Ортогональное преобразование пространства :

где - собственные значения матрицы A.

2. Метод Лагранжа - последовательное выделение полных квадратов. Например, если

Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой и т. д. Если в квадратичной форме все но есть то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например, то полагаем

3. Метод Якоби (в случае, когда все главные миноры квадратичной формы отличны от нуля):