Молекулярно-кінетична теорія явищ перенесення

Спробуємо одержати рівняння дифузії (закон Фіка), виходячи з молекулярно-кінетичних уявлень. Відразу зазначимо, що запропонований нижче розрахунок досить грубий, приблизний і стосується лише газів, в той час як установлений Фіком закон справедливий і для рідин, і для твердих тіл.

Нехай зміна концентрації молекул вздовж осі z описується функцією n (z). Позначимо число молекул, що пролітають за деякий невеликий проміжок часу через площадку в напрямку осі z, через ; те ж число для протилежного напрямку – через (див. рис.2.17). За рахунок різниці цих чисел створюється потік молекул через поверхню площею .

Будемо виходити зі спрощеної моделі, згідно з якою молекули газу рухаються у трьох взаємно перпендикулярних напрямках так, що в напрямку осі z через нашу площадку за проміжок часу пролітають молекули, число яких , а у протилежному напрямку – (див. подібну ситуацію в § 2.3). Тут – деяка “ефективна” концентрація молекул зліва від площадки, – справа від неї; – середня швидкість хаотичного теплового руху молекул газу (газ вважаємо однорідним і всім молекулам приписуємо швидкість ). В якості візьмемо значення функції n (z) у площині, що на відстані середньої довжини вільного пробігу від нашої площадки зліва (, а в якості – у площині, що на відстані справа (. Тоді маємо

.

Параметр є дуже малою величиною (див. оцінку її в § 2.18), тому скористаємося означенням похідної

і подамо вираз для числа молекул N у вигляді

. (2.62)

Остання рівність правильна, якщо зміна функції n(z) на довжині вільного пробігу набагато менша від самої n (z), тобто . Виконання такої умови ”вимагає” використане нами означення похідної.

Порівняємо тепер співвідношення (2.62) і (2.61). Бачимо, що: 1) ми одержали закон Фіка; 2) попутно маємо явний вигляд коефіцієнта дифузії

.

В межах молекулярно-кінетичних уявлень про газ можна також одержати оцінки в’язкості і теплопровідності:

– питома теплоємність газу при постійному об’ємі, – густина.

Коефіцієнти D, і є характеристиками речовини. Одночасно вони залежать від температури і тиску. Результати аналізу цієї залежності для газів подані графічно (рис.2.18).

Температурна залежність всіх трьох коефіцієнтів близька до (ясно, що в кожного коефіцієнта своя крива). Залежність від тиску різна в області вакууму і поза нею.