А) Електричне поле рівномірно зарядженої кулі.

Розглянемо кулю радіусом R рівномірно заряджену по об’єму з об’ємною густиною заряду

. (3.27)

Для рівномірного розподілу заряду можна вважати що

. (3.28)

Оскільки об’єм кулі рівний

, (3.29)

то підставивши (3.29) в (3.28) одержимо:

. (3.30)

Виберемо замкнену поверхню S у формі сфери радіусом r, центр якої співпадає з центром зарядженої кулі, як зображено на рис. 3.5. Розглянемо випадок коли , тобто визначимо напруженість електричного поля всередині зарядженої кулі. Запишемо теорему Остроградського-Гауса для випадку неперервного розподілу електричного заряду.

(3.31)

або

(3.32)

В даному випадку і , тому

. (3.33)

Виходячи з міркувань симетрії випливає, що величина Е за модулем постійна у всіх точках сферичної поверхні S, тому винесемо Е за знак інтегралу:

. (3.34)

У формулі (3.34) інтеграл по замкненій поверхні рівний площі сферичної поверхні радіусом r а інтеграл по об’єму V рівний об’єму цієї ж сферичної поверхні, тому

, (3.35)

. (3.36)

Підставимо вирази (3.30), (3.35) і (3.36) у формулу (3.34):

. (3.37)

Отже всередині рівномірно зарядженої по об’єму кулі напруженість електричного поля прямо пропорційна відстані від центру кулі до даної точки.

Розглянемо випадок коли , тобто визначимо напруженість електричного поля ззовні зарядженої кулі (рис. 3.6). Запишемо теорему Остроградського-Гауса.

(3.38)

або

. (3.39)

Оскільки вектори і мають однаковий напрямок то . Виходячи з міркувань симетрії можна стверджувати, що модуль Е однаковий в усіх точках поверхні S. Врахуємо також, що поверхня S охоплює кулю з зарядом q, тоді вираз (3.39) набере вигляду:

. (3.40)

Підставимо (3.35) в (3.40):

. (3.41)

Із формули (3.41) випливає, що ззовні зарядженої кулі напруженість електричного поля, так само як і для точкового заряду, обернено пропорційна квадратові відстані від центру кулі до даної точки простору.

На рис. 3.7 зображено залежність напруженості електричного поля Е від відстані r.