Определение унитарного оператора. Критерий существования унитарного оператора в Евклидовом пространстве.
Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор U: H → H на гильбертовом пространстве H, который удовлетворяет соотношению
где U ∗ — эрмитово сопряжённый к U оператор, и I: H → H единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:
Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:
Чтобы увидеть это, заметим, что U изометричен (а по-этому является ограниченным линейным оператором). Это следует из того, что U сохраняет скалярное произведение. Тот факт, что образ U - плотное множество, даёт, что обратный оператор также ограничен. Очевидно, что U −1 = U ∗. Унитарный элемент это обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре, элемент U алгебры называется унитарным элементом если
где I единичный элемент.[1] Свойства унитарных преобразований:
|
эрмитов, то оператор 
унитарен.
