Матричная запись линейных операторов. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.

Выберем в пространстве V базис . Пусть – произвольный элемент из V и – разложение по данному базису. Пусть А – линейный оператор из . Тогда А А . Полагая, что

А (7.1)

получим

А

Таким образом, если А и элемент имеет координаты , то

(7.2)

Рассмотрим квадратную матрицу А с элементами : Эта матрица называется матрицей линейного оператора в заданном базисе .

Наряду с ранее указанным способом записи линейного оператора А используется, при заданном базисе , следующая матричная форма: , причем, если , то , где , , определяется с помощью соотношения (7.2), а элементы матрицы А определяются по формулам (7.1).

Пусть — линейное пространство над полем , — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования называется такой ненулевой вектор , что для некоторого

Собственным значением линейного преобразования называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение имеет ненулевое решение .

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный , а соответствующий скаляр называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования для данного собственного числа (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его . По определению,

где — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования для данного собственного значения называется такой ненулевой вектор , что для некоторого натурального числа

Если является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть ), то называется высотой корневого вектора .

Корневым подпространством линейного преобразования для данного собственного числа называется множество всех корневых векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его . По определению,

где