Линейные пространстваТема №1. Линейные пространства Теоретические вопросы темы 1. Линейные пространства (ЛП): определение (аксиомы). Примеры ЛП. 2. Линейная зависимость, независимость системы векторов в ЛП. Основные теоремы (свойства). 3. Базис, размерность ЛП, разложение вектора по векторам базиса. Базис и размерность ЛП решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (ОСЛАУ). 4. Переход от базиса к базису, свойства матрицы перехода. Формулы замены координат при переходе к новому базису. 5. Подпространства линейных пространств. 6. Сумма и пересечение подпространств. Линейная оболочка, свойства. 7. Евклидовы пространства: определение (аксиомы). Норма вектора. Неравенства Коши-Буняковского. 8. Ортонормированная система векторов, ее свойства. Процесс ортогонализации базиса ЛП. 9. Ортогональное дополнение, его свойства. Понятие ортогональной проекции и ортогональной составляющей. Линейные пространства Непустое множество векторов (элементов) , …,над которыми определены операция сложения двух векторов и операция умножения вектора на действительное число, причем выполняются условия (аксиомы): при всех , 1) (аксиома коммутативности), 2) (аксиома ассоциативности), 3) существует единственный вектор такой, что (аксиома существования единственного нулевого вектора ), 4) существует единственный вектор такой, что (аксиома существования противоположного вектора ), 5) , 6) , 7) , 8) называется линейным пространством. Задание 1. Выяснить, является ли множество элементов с введенными на нем операциями сложения двух элементов из и умножения элемента из на действительное число линейным пространством. 1.1. . 1.2. – множество функций , непрерывных на с операциями сложения функций и умножения функции на . 1.3. – множество вещественных матриц с операциями: , . 1.4. , , . 1.5. – множество всех функций , имеющих на отрезке конечное число точек разрыва первого рода; с обычными операциями сложения двух функций и умножения функции на число . 1.6. – множество квадратных матриц 3-го порядка с одинаковыми элементами, операции вводятся согласно матричной алгебре (см. 1.3). 1.7. , , . 1.8. – множество всех функций , имеющих на отрезке хотя бы один нуль ; с обычными операциями сложения двух функций и умножения функции на число . 1.9. , . 1.10. – множество всех функций , удовлетворяющих на отрезке теореме Роля; с обычными операциями сложения двух функций и умножения функции на число . 1.11. – множество симметрических матриц 2-го порядка . 1.12. , , . 1.13. – множество всех геометрических векторов в пространстве, параллельных фиксированной плоскости; с обычными операциями сложения двух векторов и умножения вектора на число . 1.14. , , . 1.15. , , . 1.16. , , . 1.17. – множество квадратных нижнетреугольных матриц 3-го порядка, для каждой из которых сумма диагональных элементов равна 0. Операции над матрицами определяются согласно матричной алгебре (см. 1.3). 1.18. , . 1.19. – множество всех геометрических векторов в пространстве, перпендикулярных фиксированной плоскости; с обычными операциями сложения двух векторов и умножения вектора на число . 1.20. , , .
|