Знакоопределенные и знакопеременные квадратичные формы

Для любой симметрической матрицы () существует ортогональная матрица такая, что выполняется равенство

, ,

– собственные значения матрицы .

Любую квадратичную форму (3.1) с помощью ортогонального преобразования вида

(3.7)

можно привести к каноническому виду

, (3.8)

где – собственные значения матрицы квадратичной формы с учетом их алгебраических кратностей, – матрица ортогонального преобразования, столбцами которой является система ортонормированных векторов.

Чтобы найти матрицу , осуществляющую ортогональное преобразование, необходимо:

1) найти собственные значения матрицы ;

2) для каждого собственного значения найти соответствующий набор линейно независимых собственных векторов, при этом их количество должно равняться алгебраической кратности собственного значения ;

3) преобразовать системы собственных векторов, полученные для каждого собственного значения , в ортонормированные системы с помощью процесса ортогонализации Шмидта (как правило, достаточно провести только нормировку каждого вектора). Объединить ортонормированные системы для каждого собственного значения в единую систему векторов, которая будет ортонормированным базисом евклидова пространства;

4) выписать матрицу , столбцами которой являются координаты векторов построенной ортонормированной системы.

Квадратичные формы () подразделяют на типы в зависимости от множества их значений ().

Положительно-определенная	при всех ; все собственные числа положительные
Отрицательно-определенная	при всех ; все собственные числа отрицательные
Неотрицательно-определенная	при всех ; все собственные числа неотрицательные
Неположительно-определенная	при всех ; все собственные числа неположительные
Знакопеременная	существуют , , ; среди собственных чисел есть как положительные, так и отрицательные
Вырожденная	существует ; среди собственных чисел есть нулевое собственное число

Для матрицы квадратичной формы введем определители (главные миноры матрицы):

Каждый главный минор k -го порядка расположен на пересечении первых k строк и первых k столбцов матрицы квадратичной формы. Главный минор максимального n -го порядка представляет собой определитель матрицы.

Критерий Сильвестра ( о необходимом и достаточном условии знако-положительности квадратичной формы). Квадратичная форма положительно-определенная тогда и только тогда, когда

.

Следствие 1. Квадратичная форма отрицательно-определенная тогда и только тогда, когда

( знаки главных миноров чередуются начиная с минуса).

Следствие 2. Квадратичная форма неотрицательно-определенная тогда и только тогда, когда

.

Следствие 3. Квадратичная форма неположительно-определенная тогда и только тогда, когда

.

Следствие 4. Невырожденная квадратичная форма знакопеременна тогда и только тогда, когда для матрицы квадратичной формы выполнено хотя бы одно из условий:

1) один из главных миноров равен нулю;

2) один из главных миноров четного порядка отрицателен;

3) два главных минора нечетного порядка имеют разные знаки.

Задание 21.

1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогональных преобразований, написать соответствующее ортогональное преобразование (матрицу этого ортогонального преобразования), выполнить проверку.

2. Определить тип квадратичной формы (по каноническому виду квадратичной формы, по собственным значениям, по критерию Сильвестра).

3. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа, указать соответствующее неособенное линейное преобразование, выполнить проверку.

21.1.	.
21.2.	.
21.3.	.
21.4.	.
21.5.	.
21.6.	.
21.7.	.
21.8.	.
21.9.	.
21.10.	.
21.11.	.
21.12.	.
21.13.	.
21.14.	.
21.15.	.
21.16.	.
21.17.	.
21.18.	.
21.19.	.
21.20.	.

Задание 22 (Приведение общих уравнений кривых второго порядка к каноническому виду).

1. Привести общее уравнение кривой второго порядка к каноническому виду методом поворота осей координат системы и последующего параллельного переноса, определить тип этой кривой. Сделать чертеж.

2. Привести общее уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, приведя квадратичную форму кривой при помощи ортогонального преобразования к каноническому виду.

22.1. .	22.2. .
22.3. .	22.4. .
22.5. .	22.6. .
22.7. .	22.8. .
22.9. .	22.10. .
22.11. .	22.12. .
22.13. .	22.14. .
22.15. .	22.16. .
22.17. .	22.18. .
22.19. .	22.20. .

 

Библиографический список

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Физматлит, 2006.

2. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. Изд. 6-е. – М.: Наука, 1984. 336 c.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1999. – 304 c.

4. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1970. – 324 c.

5. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. 5-е изд. – М.: Наука, 1974. – 384 c.

6. Чехлов В.И. Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре. — М.: Изд. МФТИ, 2005.